一个夸张的积分上限：肯定有规律可循

一、题目

$$I={\int }_0^{100\pi }\sqrt{1+\cos 2x}\mathrm{d}x=?$$

难度评级：

二、解析

已知：

$$\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1\Rightarrow$$

$$1+\cos 2x=2{\cos }^{2}x.$$

于是：

$$I={\int }_0^{100\pi }\sqrt{1+\cos 2x}dx\Rightarrow$$

$$I={\int }_0^{100\pi }\sqrt{2}|\cos x|dx\Rightarrow$$

由于 $\cos x$ 的周期为 $\pi$, 所以：

$$I=100\sqrt{2}{\int }_0^{\pi }|\cos x|dx\Rightarrow$$

$$I=100\sqrt{2}[{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\cos xdx-{\int }_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }\cos xdx]\Rightarrow$$

$$I=100\sqrt{2}[(1-0)-(0-1)]\Rightarrow$$

$$I=100\sqrt{2}\times 2=200.$$

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