变限积分也是一种特殊的定积分：能转为定积分计算的可以尝试转为定积分进行计算

一、题目

已知 $f (x)$ 有连续的一阶导数， $f (0) = 0$ , $f (a) = 1$ , $F (x) = \int_{0}^{x} f (t) f^{'} (2 a - t) d t$ , 则 $F (2 a) - 2 F (a) = ?$

$(A) 2$

$(B) 0$

$(C) 1$

$(D) - 1$

难度评级：

二、解析

方法 1：特例法

令：

$f (x) = x$

则：

$F (x) = \int_{0}^{x} x d x \Rightarrow$

$F (2 a) - 2 F (a) = \int_{0}^{2 a} x d x - 2 \int_{0}^{a} x d x \Rightarrow$

${\frac{1}{2} x^{2} |}_{0}^{2 a} - {2 \cdot \frac{1}{2} x^{2} |}_{0}^{a} \Rightarrow$

$\frac{1}{2} \cdot 4 a^{2} - a^{2} = 2 a^{2} - a^{2} = a^{2}$

又：

$f (a) = 1 \Rightarrow a = 1$

所以：

$F (2 a) - 2 F (a) = a^{2} = 1$

方法 2：直接转为定积分进行运算

$F (2 a) - 2 F (a) =$

$\int_{0}^{2 a} f (t) f^{'} (2 a - t) d t - 2 \int_{0}^{a} f (t) f^{'} (2 a - t) d t \Rightarrow$

$\int_{0}^{a} f (t) f^{'} (2 a - t) d t + \int_{a}^{2 a} f (t) f^{'} (2 a - t) d t -$

$2 \int_{0}^{a} f (t) f^{'} (2 a - t) d t \Rightarrow$

$\int_{a}^{2 a} f (t) f^{'} (2 a - t) d t - \int_{0}^{a} f (t) f^{'} (2 a - t) d t .$

又：

$\int_{a}^{2 a} f (t) f^{'} (2 a - t) d t \Rightarrow$

$k = 2 a - t, d t = 2 a - k \Rightarrow$

$t \in (a, 2 a), d k \in (a, 0), d t = - d k \Rightarrow$

$(- 1) \int_{a}^{0} f (2 a - k) f^{'} (k) d k \Rightarrow \int_{0}^{a} f^{'} (k) f (2 a - k) d k \Rightarrow$

$\int_{0}^{a} f (2 a - k) d [f (k)] \Rightarrow$

$f (k) f^{2} (2 a - k) |_{0}^{a} + \int_{0}^{a} f (k) f^{'} (2 a - k) d k \Rightarrow$

$f^{2} (a) - f (0) f (2 a) = f^{2} (a) + \int_{0}^{a} f (k) f^{'} (2 a - k) d k \Rightarrow$

$f^{2} (a) - f (0) f (2 a) = f^{2} (a) + \int_{0}^{a} f (t) f^{'} (2 a - t) d t .$

于是：

$F (2 a) - 2 F (a) = f^{2} (a) +$

$\int_{0}^{a} f (t) f^{'} (2 a - t) d t - \int_{0}^{a} f (t) f^{'} (2 a - t) d t =$

$f^{2} (a) = 1^{2} = 1.$

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