处理变限积分问题时除了可以尝试求导运算，还可以尝试积分运算

一、题目

已知函数 $g(x)$ 在 $(0,+\mathrm{\infty })$ 连续，若令：

$$F(x)={\int }_1^x[g(t^2+\frac{x^2}{t^2})-g(t+\frac{x^2}{t})]\frac{\mathrm{d}t}{t}$$

则 $F(x)$ 在 $[1,+\mathrm{\infty })$ 上为：

$$(A)\mathrm{单}\mathrm{调}\mathrm{升}$$

$$(B)\mathrm{单}\mathrm{调}\mathrm{降}$$

$$(C)\mathrm{常}\mathrm{数}$$

难度评级：

二、解析

由于题目所给的式子中，被积函数中含有 $t^2+\frac{x^2}{t^2}$ 或者 $t+\frac{x^2}{t}$, 也就是积分变量和积分上下限中的变量共存了，直接使用变限积分的求导公式进行计算会失效，还需要进行变量待会，会极大的增加计算的难度。

因此，我们可以考虑改变思路，直接按照定积分的计算方式，对该变限积分进行积分运算。

由题可得：

$$F(x)={\int }_1^x[g(t^2+\frac{x^2}{t^2})-g(t+\frac{x^2}{t})]\frac{\mathrm{d}t}{t}\Rightarrow$$

$$F(x)={\int }_1^{x}g(t^2+\frac{x^2}{t^2})\frac{\mathrm{d}t}{t}-{\int }_1^{x}g(t+\frac{x^2}{t})\frac{\mathrm{d}t}{t}.$$

又：：

$${\int }_1^{x}g(t^2+\frac{x^2}{t^2})\frac{1}{t}\mathrm{d}t\Rightarrow$$

尝试通过凑微分的方式凑出 $t^2$ 以便进行整体替换：

$$\frac{1}{2}{\int }_1^{x}g(t^2+\frac{x^2}{t^2})\frac{1}{t^2}d\left(t^2\right)$$

$$u=t^2\Rightarrow t\in (1,x)\Rightarrow u\in (1,x^2)\Rightarrow$$

$$\frac{1}{2}{\int }_1^{x}g(t^2+\frac{x^2}{t^2})\frac{1}{t^2}d\left(t^2\right)\Rightarrow \frac{1}{2}{\int }_1^{x^2}g(u+\frac{x^2}{u})\frac{1}{u}\mathrm{d}u\Rightarrow$$

$$\frac{1}{2}{\int }_1^{x}g(u+\frac{x^2}{u})\frac{1}{u}\mathrm{d}u+\frac{1}{2}{\int }_x^{x^2}g(u+\frac{x^2}{u})\frac{1}{u}\mathrm{d}u\Rightarrow$$

尝试将上面红色部分的式子的上下限由 $(x,x^2)$ 修改为 $(1,x)$ 或者 $(x,1)$:

$$k=\frac{x^2}{u}\Rightarrow u=\frac{x^2}{k}\Rightarrow u\in (x,x^2)\Rightarrow k\in (x,1)\Rightarrow$$

$$\frac{1}{2}{\int }_x^{x^2}g(u+\frac{x^2}{u})\frac{1}{u}\mathrm{d}u\Rightarrow$$

$$\frac{1}{2}{\int }_x^{1}g(\frac{x^2}{k}+k)\frac{k}{x^2}\cdot x^2\cdot \frac{-1}{k^2}\mathrm{d}k\Rightarrow$$

$$\frac{1}{2}{\int }_1^{x}g(k+\frac{x^2}{k})\frac{1}{k}\mathrm{d}k.$$

于是：

$${\int }_1^{x}g(t^2+\frac{x^2}{t^2})\frac{\mathrm{d}t}{t}=\frac{1}{2}{\int }_1^{x}g(u+\frac{x^2}{u})\frac{\mathrm{d}u}{u}+$$

$$\frac{1}{2}{\int }_1^{x}g(k+\frac{x^2}{k})\frac{\mathrm{d}k}{k}=$$

$$u=t,\mathrm{d}k=t\Rightarrow$$

$${\int }_1^{x}g(t^2+\frac{x^2}{t^2})\frac{\mathrm{d}t}{t}=\frac{1}{2}{\int }_1^{x}g(t+\frac{x^2}{t})\frac{\mathrm{d}t}{t}+$$

$$\frac{1}{2}{\int }_1^{x}g(t+\frac{x^2}{t})\frac{\mathrm{d}t}{t}\Rightarrow$$

$${\int }_1^{x}g(t^2+\frac{x^2}{t^2})\frac{\mathrm{d}t}{t}={\int }_1^{x}g(t+\frac{x^2}{t})\frac{\mathrm{d}t}{t}.$$

综上可知：

$$F(x)={\int }_1^{x}g(t^2+\frac{x^2}{t^2})\frac{\mathrm{d}t}{t}–{\int }_1^{x}g(t+\frac{x^2}{t})\frac{\mathrm{d}t}{t}=0\Rightarrow$$

$$F(x)={\int }_1^{x}g(t+\frac{x^2}{t})\frac{\mathrm{d}t}{t}-{\int }_1^{x}g(t+\frac{x^2}{t})\frac{\mathrm{d}t}{t}=0\Rightarrow$$

C 选项正确。

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