处理变限积分问题时除了可以尝试求导运算，还可以尝试积分运算

一、题目

已知函数 $g(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 连续，若令：

$$
F(x)=\int_{1}^{x}\left[g\left(t^{2}+\frac{x^{2}}{t^{2}}\right)-g\left(t+\frac{x^{2}}{t}\right)\right] \frac{\mathrm{d} t}{t}
$$

则 $F(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上为：

$$
(A) 单调升
$$

$$
(B) 单调降
$$

$$
(C) 常数
$$

难度评级：

二、解析

由于题目所给的式子中，被积函数中含有 $t^{2}+\frac{x^{2}}{t^{2}}$ 或者 $t+\frac{x^{2}}{t}$, 也就是积分变量和积分上下限中的变量共存了，直接使用变限积分的求导公式进行计算会失效，还需要进行变量待会，会极大的增加计算的难度。

因此，我们可以考虑改变思路，直接按照定积分的计算方式，对该变限积分进行积分运算。

由题可得：

$$
F(x)=\int_{1}^{x}\left[g\left(t^{2}+\frac{x^{2}}{t^{2}}\right)-g\left(t+\frac{x^{2}}{t}\right)\right] \frac{\mathrm{~ d} t}{t} \Rightarrow
$$

$$
F(x)= \textcolor{orange}{\int_{1}^{x} g\left(t^{2}+\frac{x^{2}}{t^{2}}\right) \frac{\mathrm{~ d} t}{t} }-\int_{1}^{x} g\left(t+\frac{x^{2}}{t}\right) \frac{\mathrm{~ d} t}{t}.
$$

又：：

$$
\textcolor{orange}{ \int_{1}^{x} g\left(t^{2}+\frac{x^{2}}{t^{2}}\right) \frac{1}{t} \mathrm{~ d} t } \Rightarrow
$$

尝试通过凑微分的方式凑出 $t^{2}$ 以便进行整体替换：

$$
\frac{1}{2} \int_{1}^{x} g\left(t^{2}+\frac{x^{2}}{t^{2}}\right) \frac{1}{t^{2}} d\left(t^{2}\right)
$$

$$
u=t^{2} \Rightarrow t \in(1, x) \Rightarrow u \in\left(1, x^{2}\right) \Rightarrow
$$

$$
\frac{1}{2} \int_{1}^{x} g\left(t^{2}+\frac{x^{2}}{t^{2}}\right) \frac{1}{t^{2}} d\left(t^{2}\right) \Rightarrow \frac{1}{2} \int_{1}^{x^{2}} g\left(u+\frac{x^{2}}{u}\right) \frac{1}{u} \mathrm{~ d} u \Rightarrow
$$

$$
\frac{1}{2} \int_{1}^{x} g\left(u+\frac{x^{2}}{u}\right) \frac{1}{u} \mathrm{~ d} u+ \textcolor{red}{\frac{1}{2} \int_{x}^{x^{2}} g\left(u+\frac{x^{2}}{u}\right) \frac{1}{u} \mathrm{~ d} u } \Rightarrow
$$

尝试将上面红色部分的式子的上下限由 $(x ,x^{2})$ 修改为 $(1, x)$ 或者 $(x, 1)$:

$$
k=\frac{x^{2}}{u} \Rightarrow u=\frac{x^{2}}{k} \Rightarrow u \in\left(x, x^{2}\right) \Rightarrow k \in\left(x, 1\right) \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{red}{
\frac{1}{2} \int_{x}^{x^{2}} g\left(u+\frac{x^{2}}{u}\right) \frac{1}{u} \mathrm{~ d} u } \Rightarrow
$$

$$
\frac{1}{2} \int_{x}^{1} g\left(\frac{x^{2}}{k}+k\right) \frac{k}{x^{2}} \cdot x^{2} \cdot \frac{-1}{k^{2}} \mathrm{~ d} k \Rightarrow
$$

$$
\frac{1}{2} \int_{1}^{x} g\left(k+\frac{x^{2}}{k}\right) \frac{1}{k} \mathrm{~ d} k.
$$

于是：

$$
\int_{1}^{x} g\left(t^{2}+\frac{x^{2}}{t^{2}}\right) \frac{\mathrm{~ d} t}{t}=\frac{1}{2} \int_{1}^{x} g\left(u+\frac{x^{2}}{u}\right) \frac{\mathrm{~ d} u}{u} +
$$

$$
\frac{1}{2} \int_{1}^{x} g\left(k+\frac{x^{2}}{k}\right) \frac{\mathrm{~ d} k}{k}=
$$

$$
u = t, \quad \mathrm{~ d} k = t \Rightarrow
$$

$$
\int_{1}^{x} g\left(t^{2}+\frac{x^{2}}{t^{2}}\right) \frac{\mathrm{~ d} t}{t}=\frac{1}{2} \int_{1}^{x} g\left(t+\frac{x^{2}}{t}\right) \frac{\mathrm{~ d} t}{t}+
$$

$$
\frac{1}{2} \int_{1}^{x} g\left(t+\frac{x^{2}}{t}\right) \frac{\mathrm{~ d} t}{t} \Rightarrow
$$

$$
\int_{1}^{x} g\left(t^{2}+\frac{x^{2}}{t^{2}}\right) \frac{\mathrm{~ d} t}{t} = \int_{1}^{x} g\left(t+\frac{x^{2}}{t}\right) \frac{\mathrm{~ d} t}{t}.
$$

综上可知：

$$
F(x)=\int_{1}^{x} g\left(t^{2}+\frac{x^{2}}{t^{2}}\right) \frac{\mathrm{~ d} t}{t} – \int_{1}^{x} g\left(t+\frac{x^{2}}{t}\right) \frac{\mathrm{~ d} t}{t}=0 \Rightarrow
$$

$$
F(x)=\int_{1}^{x} g\left(t+\frac{x^{2}}{t}\right) \frac{\mathrm{~ d} t}{t}-\int_{1}^{x} g\left(t+\frac{x^{2}}{t}\right) \frac{\mathrm{~ d} t}{t}=0 \Rightarrow
$$

C 选项正确。

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