通过嵌套变限积分判断式子整体的奇偶性

一、题目

已知 $f(u)$ 为连续的偶函数，$a$ 是常数，则以下式子的奇偶性如何：

第 1 个式子：

$$
\int_{0}^{x}\left[\int_{a}^{u} t f(t) \mathrm{~d} t\right] \mathrm{~d} u
$$

第 2 个式子：

$$
\int_{0}^{x}\left[\int_{a}^{u} f(t) \mathrm{~d} t\right] \mathrm{~d} u
$$

第 3 个式子：

$$
\int_{a}^{x}\left[\int_{0}^{u} t f(t) \mathrm{~d} t\right] \mathrm{~d} u
$$

第 4 个式子：

$$
\int_{a}^{x}\left[\int_{0}^{u} f(t) \mathrm{~d} t\right] \mathrm{~d} u
$$

难度评级：

二、解析

在正式分析之前，我们首先需要明白以下几点关于奇偶函数的性质：

• 如果函数 $f(x)$ 是奇函数，则必有 $f(0) = 0$
• 如果函数 $f(x)$ 是偶函数，则其必须关于 $x = 0$ 对称，但不必须有 $f(0) = 0$
• 一般情况下，求导和积分运算都会改变函数的奇偶性，例如 $(\sin x)^{\prime} = \cos x$
• 在变限积分的上下限中，例如 “$\int_{a}^{x}$”——其中的变量 $x$ 的取值范围在没有特殊说明的情况下，是可以在整个数轴上取值的，因此，可能有 $x > a$, 也可能有 $x < a$.

第 1 个式子：$\int_{0}^{x}\left[\int_{a}^{u} t f(t) \mathrm{~d} t\right] \mathrm{~d} u$

首先，$f(t)$ 为偶函数，所以 $t f(t)$ 为奇函数，又：

$$
\int_{a}^{u} t f(t) \mathrm{~d} t =
$$

$$
\int_{a}^{0} t f(t) \mathrm{~d} t + \int_{0}^{u} t f(t) \mathrm{~d} t
$$

其中，$\int_{a}^{0} t f(t) \mathrm{~d} t$ 是一个常数。

若 $F^{\prime}(t) = t f(t)$, 则：

$$
\int_{0}^{u} t f(t) \mathrm{~d} t = F(t) \Big|_{0}^{u} = F(u) – F(0)
$$

由于 $F(u)$ 是一个偶函数，因此 $F(u) – F(0)$ 也是一个偶函数，进而可知 $\int_{a}^{u} t f(t) \mathrm{~d} t$ 是一个偶函数。

类似的，若 $G^{\prime}(x) = \int_{a}^{u} t f(t) \mathrm{~d} t$, 则：

$$
\int_{0}^{x}\left[\int_{a}^{u} t f(t) \mathrm{~d} t\right] \mathrm{~d} u =
$$

$$
G(x) \Big|_{0}^{x} = G(x) – G(0)
$$

由于 $G(x)$ 是一个奇函数，所以 $G(0) = 0$, 因此 $G(x) – G(0)$ 也是一个奇函数。

综上可知，$\int_{0}^{x}\left[\int_{a}^{u} t f(t) \mathrm{~d} t\right] \mathrm{~d} u$ 是一个奇函数。

第 2 个式子：$\int_{0}^{x}\left[\int_{a}^{u} f(t) \mathrm{~d} t\right] \mathrm{~d} u$

首先，$f(t)$ 是一个偶函数。

若 $F^{\prime}(t) = f(t)$, 则：

$$
\int_{a}^{u} f(t) \mathrm{~d} t =
$$

$$
F(t) \Big|_{a}^{u} = F(u) – F(a)
$$

其中，$F(t)$ 是一个奇函数。

但是，当 $a \neq 0$ 的时候，$F(a) = 0$ 不一定成立，这就导致 $F(u) – F(a)$ 不一定是奇函数，只有当 $a = 0$ 时，才可以确定 $F(u) – F(a)$ 是一个奇函数——

综上，当 $a = 0$ 时 $\int_{0}^{x}\left[\int_{a}^{u} f(t) \mathrm{~d} t\right] \mathrm{~d} u$ 是偶函数，当 $a \neq 0$ 时 $\int_{0}^{x}\left[\int_{a}^{u} f(t) \mathrm{~d} t\right] \mathrm{~d} u$ 是非奇非偶函数。

第 3 个式子：$\int_{a}^{x}\left[\int_{0}^{u} t f(t) \mathrm{~d} t\right] \mathrm{~d} u$

首先，$t f(t)$ 是奇函数。

若 $F^{\prime}(t) = t f(t)$, 则：

$$
\int_{0}^{u} t f(t) \mathrm{~d} t =
$$

$$
F(t) \Big|_{0}^{u} = F(u) – F(0)
$$

由于 $F(t)$ 是偶函数，因此，$F(u) – F(0)$ 也是偶函数。

若 $G^{\prime}(u) = \int_{0}^{u} t f(t) \mathrm{~d} t$, 则：

$$
\int_{a}^{x}\left[\int_{0}^{u} t f(t) \mathrm{~d} t\right] \mathrm{~d} u =
$$

$$
G(u) \Big|_{a}^{x} = G(x) – G(a)
$$

由于 $G(u)$ 是奇函数，$G(0) = 0$, 但由于不能确定 $a$ 的取值，因此，无法判断 $G(x) – G(a)$ 是否是奇函数，也就不能判断 $\int_{a}^{x}\left[\int_{0}^{u} t f(t) \mathrm{~d} t\right] \mathrm{~d} u$ 的奇偶性。

第 4 个式子：$\int_{a}^{x}\left[\int_{0}^{u} f(t) \mathrm{~d} t\right] \mathrm{~d} u$

首先，$f(t)$ 是偶函数。

若 $F^{\prime}(t) = f(t)$, 则：

$$
\int_{0}^{u} f(t) \mathrm{~d} t =
$$

$$
F(t) \Big|_{0}^{u} = F(u) – F(0)
$$

由于 $F(t)$ 是奇函数，因此，$F(0) = 0$, 即 $F(u) – F(0) = F(u)$ 是一个奇函数。

类似的，若 $G^{\prime}(u) = \int_{0}^{u} f(t) \mathrm{~d} t = F(u)$, 则：

$$
\int_{a}^{x}\left[\int_{0}^{u} f(t) \mathrm{~d} t\right] \mathrm{~d} u =
$$

$$
G(u) \Big|_{a}^{x} = G(x) – G(0)
$$

由于 $G(x)$ 是一个偶函数，因此 $G(x) – G(0)$ 也是一个偶函数，即 $\int_{a}^{x}\left[\int_{0}^{u} f(t) \mathrm{~d} t\right] \mathrm{~d} u$ 是一个偶函数。

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