通过嵌套变限积分判断式子整体的奇偶性

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 f(u) 为连续的偶函数,a 是常数,则以下式子的奇偶性如何:

第 1 个式子:

0x[autf(t) dt] du

第 2 个式子:

0x[auf(t) dt] du

第 3 个式子:

ax[0utf(t) dt] du

第 4 个式子:

ax[0uf(t) dt] du

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

在正式分析之前,我们首先需要明白以下几点关于奇偶函数的性质:

  • 如果函数 f(x) 是奇函数,则必有 f(0)=0
  • 如果函数 f(x) 是偶函数,则其必须关于 x=0 对称,但不必须有 f(0)=0
  • 一般情况下,求导和积分运算都会改变函数的奇偶性,例如 (sinx)=cosx
  • 在变限积分的上下限中,例如 “ax”——其中的变量 x 的取值范围在没有特殊说明的情况下,是可以在整个数轴上取值的,因此,可能有 x>a, 也可能有 x<a.

第 1 个式子:0x[autf(t) dt] du

首先,f(t) 为偶函数,所以 tf(t) 为奇函数,又:

autf(t) dt=

a0tf(t) dt+0utf(t) dt

其中,a0tf(t) dt 是一个常数。

F(t)=tf(t), 则:

0utf(t) dt=F(t)|0u=F(u)F(0)

由于 F(u) 是一个偶函数,因此 F(u)F(0) 也是一个偶函数,进而可知 autf(t) dt 是一个偶函数。

类似的,若 G(x)=autf(t) dt, 则:

0x[autf(t) dt] du=

G(x)|0x=G(x)G(0)

由于 G(x) 是一个奇函数,所以 G(0)=0, 因此 G(x)G(0) 也是一个奇函数。

综上可知,0x[autf(t) dt] du 是一个奇函数。

第 2 个式子:0x[auf(t) dt] du

首先,f(t) 是一个偶函数。

F(t)=f(t), 则:

auf(t) dt=

F(t)|au=F(u)F(a)

其中,F(t) 是一个奇函数。

但是,当 a0 的时候,F(a)=0 不一定成立,这就导致 F(u)F(a) 不一定是奇函数,只有当 a=0 时,才可以确定 F(u)F(a) 是一个奇函数——

综上,当 a=00x[auf(t) dt] du 是偶函数,当 a00x[auf(t) dt] du 是非奇非偶函数。

第 3 个式子:ax[0utf(t) dt] du

首先,tf(t) 是奇函数。

F(t)=tf(t), 则:

0utf(t) dt=

F(t)|0u=F(u)F(0)

由于 F(t) 是偶函数,因此,F(u)F(0) 也是偶函数。

G(u)=0utf(t) dt, 则:

ax[0utf(t) dt] du=

G(u)|ax=G(x)G(a)

由于 G(u) 是奇函数,G(0)=0, 但由于不能确定 a 的取值,因此,无法判断 G(x)G(a) 是否是奇函数,也就不能判断 ax[0utf(t) dt] du 的奇偶性。

第 4 个式子:ax[0uf(t) dt] du

首先,f(t) 是偶函数。

F(t)=f(t), 则:

0uf(t) dt=

F(t)|0u=F(u)F(0)

由于 F(t) 是奇函数,因此,F(0)=0, 即 F(u)F(0)=F(u) 是一个奇函数。

类似的,若 G(u)=0uf(t) dt=F(u), 则:

ax[0uf(t) dt] du=

G(u)|ax=G(x)G(0)

由于 G(x) 是一个偶函数,因此 G(x)G(0) 也是一个偶函数,即 ax[0uf(t) dt] du 是一个偶函数。


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