利用积分区间的对称性和被积函数的奇偶性化简积分运算

一、题目

已知积分区域 $D$ $=$ $\{(x,y)||x|⩽1,|y|⩽1,\mathrm{d}{x}^2+y^2⩾x\}$, 则：

$${\iint }_D|xy|\mathrm{d}\sigma =?$$

难度评级：

二、解析

由题知：

$$|x|⩽1\Rightarrow -1⩽x⩽1|y|⩽1\Rightarrow -1⩽y⩽1$$

$$x^2+y^2⩾x\Rightarrow x^2+y^2-x⩾0\Rightarrow {(x-\frac{1}{2})}^2+y^2⩾\frac{1}{4}$$

于是，我们可以绘制出如下积分区域图（阴影部分）：

接着，由积分区域的特点可知：

$${\iint }_D|xy|\mathrm{d}\sigma ={\iint }_{D_1}|xy|\mathrm{d}\sigma -{\iint }_{D_2}|xy|\mathrm{d}\sigma$$

由于 $|xy|$ 关于 $x$ 和 $y$ 都是偶函数，因此，$|xy|$ 在区域 $D_1$ 上的积分就相当于 $|xy|$ 在关于 $x$ 轴和 $y$ 轴都对称的区域 $D_1$ 在第一象限内积分的 $4$ 倍，因此：

$${\iint }_{D_1}|xy|\mathrm{d}\sigma =4{\int }_0^1\mathrm{d}x{\int }_0^1|xy|\mathrm{d}y\Rightarrow$$

$$4{\int }_0^{1}x\mathrm{d}x{\int }_0^{1}y\mathrm{d}y=4\cdot \frac{1}{2}{\int }_0^{1}x\mathrm{d}x=4\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=1$$

又由于积分区域 $D_2$ 关于 $x$ 轴对称，而被积函数 $|xy|$ 关于 $y$ 是偶函数，因此，$|xy|$ 在区域 $D_2$ 上的积分就相当于在 $D_2$ 位于第一项象限内积分的 $2$ 倍。

又：

$$x^2+y^2-x=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \end{array}\Rightarrow$$

$$r^2-r\cos \theta =0\Rightarrow \{\begin{array}{l}r=0\\ r=\cos \theta .\end{array}$$

于是：

$${\iint }_{D_2}|xy|\mathrm{d}\sigma =2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\mathrm{d}\theta {\int }_0^{\cos \theta }r\cdot r\cos \theta \cdot r\sin \theta \mathrm{d}r\Rightarrow$$

$$2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\mathrm{d}\theta {\int }_0^{\cos \theta }{r}^3\sin \theta \cdot \cos \theta \mathrm{d}r\Rightarrow$$

$$2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin \theta \cdot \cos \theta \mathrm{d}\theta {\int }_0^{\cos \theta }{r}^3\mathrm{d}r\Rightarrow$$

$$2\cdot \frac{1}{4}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin \theta {\cos }^5\theta \mathrm{d}\theta \Rightarrow$$

$$\frac{-1}{2}{\int }_1^0{\cos }^5\theta d(\cos \theta )\Rightarrow$$

$$\frac{1}{2}{\int }_0^1{t}^5\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6}t{|}_0^1=\frac{1}{12}.$$

综上可知：

$${\iint }_D|xy|\mathrm{d}\sigma =1-\frac{1}{12}=\frac{11}{12}$$

---