三角函数套进其反三角函数——湮灭为一个变量

一、题目题目 - 荒原之梦

已知积分区域 A = {(x,y)x2+y21,x2+y29,x3y,y3x}.

则:

Darctanyx dσ=?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

首先,根据题目所给条件,我们可以绘制出如下积分区域(深蓝色区域 A):

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图 01.

由于本题涉及圆形,所以,我们尝试在极坐标系下求解本题所给的二重积分。

由题知:

{y=3xθ=π3x=3yθ=π6

又:

{x=rcosθy=rsinθ

于是:

I=π6π3 dθ13arctanrcosθrsinθr dr

I=π6π3 dθ13θr dr

I=π6π3θ dθ13r dr

I=π6π3(12r2|13)θ dθ

I=12(91)π6π3θ dθ

I=4π6π3θ dθ=412θ2|π6π3

I=2(π29π236)=23π236=π26.


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