三角函数套进其反三角函数——湮灭为一个变量

一、题目

已知积分区域 $A$ $=$ $\{(x,y)\mid x^2+y^2⩾1,x^2+y^2⩽9,x⩽\sqrt{3}y,y⩽\sqrt{3}x\}$.

则：

$${\iint }_D\arctan \frac{y}{x}\mathrm{d}\sigma =?$$

难度评级：

二、解析

首先，根据题目所给条件，我们可以绘制出如下积分区域（深蓝色区域 $A$）：

由于本题涉及圆形，所以，我们尝试在极坐标系下求解本题所给的二重积分。

由题知：

$$\{\begin{array}{l}y=\sqrt{3}x\Rightarrow \theta =\frac{\pi }{3}\\ x=\sqrt{3}y\Rightarrow \theta =\frac{\pi }{6}\end{array}$$

又：

$$\{\begin{array}{l}x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \end{array}$$

于是：

$$I={\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}\mathrm{d}\theta {\int }_1^3\arctan \frac{r\cos \theta }{r\sin \theta }\cdot r\mathrm{d}r\Rightarrow$$

$$I={\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}\mathrm{d}\theta {\int }_1^3\theta \cdot r\cdot \mathrm{d}r\Rightarrow$$

$$I={\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}\theta \mathrm{d}\theta {\int }_1^{3}r\mathrm{d}r\Rightarrow$$

$$I={\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}\left({\frac{1}{2}{r}^2|}_1^3\right)\theta \mathrm{d}\theta \Rightarrow$$

$$I=\frac{1}{2}(9-1){\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}\theta \mathrm{d}\theta \Rightarrow$$

$$I={4{\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}\theta \mathrm{d}\theta =4\cdot \frac{1}{2}{\theta }^2|}_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}\Rightarrow$$

$$I=2(\frac{{\pi }^2}{9}-\frac{{\pi }^2}{36})=2\cdot \frac{3{\pi }^2}{36}=\frac{{\pi }^2}{6}.$$

---