换个角度，柳暗花明：交换积分次序

一、题目

$$
I = \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}}^{1} \frac{x y}{\sqrt{1+y^{3}}} \mathrm{~d} y = ?
$$

难度评级：

二、解析

由题知：

$$
x \in(0,1) \quad \mathrm{d} x^{2} \leqslant y \leqslant 1
$$

于是，我们可以绘制出如下积分区域（阴影部分）：

如果我们先对变量 $y$ 积分，那么，由于 $\frac{y}{\sqrt{1+y^{3}}}$ 的原函数不容易求解出，增加了求解该二重积分的难度：

$$
I=\int_{0}^{1} x \mathrm{d} x \int_{x^{2}}^{1} \frac{y}{\sqrt{1+y^{3}}} \mathrm{d} y
$$

于是，我们可以考虑变换积分次序，先对变量 $x$ 积分，再对变量 $y$ 积分。

又：

$$
y = x^{2} \Rightarrow x=\sqrt{y}
$$

于是：

$$
I=\int_{0}^{1} \mathrm{d} y \int_{0}^{\sqrt{y}} \frac{x y}{\sqrt{1+y^{3}}} \mathrm{d} x \Rightarrow
$$

$$
I=\int_{0}^{1} \frac{y}{\sqrt{1+y^{3}}} \mathrm{d} y \int_{0}^{\sqrt{y}} x \mathrm{d} x \Rightarrow
$$

$$I=\int_{0}^{1} \frac{y}{\sqrt{1+y^{3}}} \cdot\left(\left.\frac{1}{2} x^{2}\right|_{0} ^{\sqrt{y}}\right) \mathrm{d} y \Rightarrow
$$

$$
I=\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{y^{2}}{\sqrt{1+y^{3}}} \mathrm{d} y \Rightarrow\left(y^{3}\right)_{y}^{\prime}=3 y^{2} \Rightarrow
$$

$$
{\left[\left(1+y^{3}\right)^{\frac{1}{2}}\right]_{y}^{\prime}=\frac{1}{2}\left(1+y^{3}\right)^{-\frac{1}{2}} \cdot 3 y^{2}} \Rightarrow
$$

$$
I=\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}\left(\left.\sqrt{1+y^{3}}\right|_{0} ^{1}\right)=\frac{1}{3}(\sqrt{2}-1)
$$

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