换个角度，柳暗花明：交换积分次序

一、题目

$$I={\int }_0^1\mathrm{d}x{\int }_{x^2}^1\frac{xy}{\sqrt{1+y^3}}\mathrm{d}y=?$$

难度评级：

二、解析

由题知：

$$x\in (0,1)\mathrm{d}{x}^2⩽y⩽1$$

于是，我们可以绘制出如下积分区域（阴影部分）：

如果我们先对变量 $y$ 积分，那么，由于 $\frac{y}{\sqrt{1+y^3}}$ 的原函数不容易求解出，增加了求解该二重积分的难度：

$$I={\int }_0^{1}x\mathrm{d}x{\int }_{x^2}^1\frac{y}{\sqrt{1+y^3}}\mathrm{d}y$$

于是，我们可以考虑变换积分次序，先对变量 $x$ 积分，再对变量 $y$ 积分。

又：

$$y=x^2\Rightarrow x=\sqrt{y}$$

于是：

$$I={\int }_0^1\mathrm{d}y{\int }_0^{\sqrt{y}}\frac{xy}{\sqrt{1+y^3}}\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$I={\int }_0^1\frac{y}{\sqrt{1+y^3}}\mathrm{d}y{\int }_0^{\sqrt{y}}x\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$I={\int }_0^1\frac{y}{\sqrt{1+y^3}}\cdot \left({\frac{1}{2}{x}^2|}_0^{\sqrt{y}}\right)\mathrm{d}y\Rightarrow$$

$$I=\frac{1}{2}{\int }_0^1\frac{y^2}{\sqrt{1+y^3}}\mathrm{d}y\Rightarrow {\left(y^3\right)}_y^{\prime }=3y^2\Rightarrow$$

$${\left[{(1+y^3)}^{\frac{1}{2}}\right]}_y^{\prime }=\frac{1}{2}{(1+y^3)}^{-\frac{1}{2}}\cdot 3y^2\Rightarrow$$

$$I=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}\left({\sqrt{1+y^3}|}_0^1\right)=\frac{1}{3}(\sqrt{2}-1)$$

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