交换二重积分的积分次序：先交为下限，后交为上限

一、题目

交换 ${\int }_0^1\mathrm{d}x{\int }_0^{x^2}f(x,y)\mathrm{d}y$ $+$ ${\int }_1^3\mathrm{d}x{\int }_0^{\frac{1}{2}(3-x)}f(x,y)\mathrm{d}y$ 的积分次序。

难度评级：

二、解析

由题知：

$$x\in (0,1)\Rightarrow y=x^2\Rightarrow x=\sqrt{y}$$

$$x\in (1,3)\Rightarrow y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\Rightarrow x=3-2y$$

根据上述结论，可以绘制出该积分的积分区域（图中阴影部分）：

于是：

$${\int }_0^1\mathrm{d}x{\int }_0^{x^2}f(x,y)\mathrm{d}y+{\int }_1^3\mathrm{d}x{\int }_0^{\frac{1}{2}(3-x)}f(x,y)\mathrm{d}y=$$

$${\int }_0^1\mathrm{d}y{\int }_{\sqrt{y}}^{3-2y}f(x,y)\mathrm{d}x.$$

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