遇到三角函数问题时要知道：不同的三角函数之间可以相互转换

一、题目

$$
\int_0^1 \arcsin x \cdot \arccos x \mathrm{~d} x = ?
$$

难度评级：

二、解析

令 $t = \arcsin x$, 则：

$$
\arccos x = \frac{\pi}{2} – t
$$

关于上面这个式子如何得出的，可以参考《反三角函数 arcsin x 和 arccos x 的关系》这篇文章。

$$
x = \sin t \Rightarrow
$$

$$
\mathrm{d} x = \mathrm{d} (\sin t)
$$

$$
x \in (0, 1) \Rightarrow
$$

$$
t = \arcsin x \in (0, \frac{\pi}{2})
$$

Next

于是：

$$
\int_0^1 \arcsin x \cdot \arccos x \mathrm{~d} x =
$$

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} t (\frac{\pi}{2} – t) \mathrm{~d} (\sin t) \Rightarrow
$$

Next

分部积分 $\Rightarrow$

$$
\sin t \cdot t (\frac{\pi}{2} – t) \Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}} – \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin t \mathrm{~d} \Big[ t (\frac{\pi}{2} – t) \Big] =
$$

$$
(-) \cdot \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin t \mathrm{~d} \Big[ t (\frac{\pi}{2} – t) \Big] =
$$

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \big( \frac{\pi}{2} – 2t \big) \mathrm{~d} (\cos t) \Rightarrow
$$

Next

分部积分 $\Rightarrow$

$$
\cos t \cdot \big( \frac{\pi}{2} – 2t \big) \Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}} – \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos t \mathrm{~d} \big( \frac{\pi}{2} – 2t \big) =
$$

$$
\frac{-\pi}{2} + 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos t \mathrm{~d} t =
$$

$$
\frac{-\pi}{2} + 2 \sin t \Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = – \frac{\pi}{2} + 2.
$$

本题计算过程中涉及到的负号较多，一定要格外注意。

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