遇到三角函数问题时要知道：不同的三角函数之间可以相互转换

一、题目

$${\int }_0^1\arcsin x\cdot \arccos x\mathrm{d}x=?$$

难度评级：

二、解析

令 $t=\arcsin x$, 则：

$$\arccos x=\frac{\pi }{2}–t$$

关于上面这个式子如何得出的，可以参考《反三角函数 arcsin x 和 arccos x 的关系》这篇文章。

$$x=\sin t\Rightarrow$$

$$\mathrm{d}x=\mathrm{d}(\sin t)$$

$$x\in (0,1)\Rightarrow$$

$$t=\arcsin x\in (0,\frac{\pi }{2})$$

Next

于是：

$${\int }_0^1\arcsin x\cdot \arccos x\mathrm{d}x=$$

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}t(\frac{\pi }{2}–t)\mathrm{d}(\sin t)\Rightarrow$$

Next

分部积分 $\Rightarrow$

$$\sin t\cdot t(\frac{\pi }{2}–t){|}_0^{\frac{\pi }{2}}–{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin t\mathrm{d}[t(\frac{\pi }{2}–t)]=$$

$$(-)\cdot {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin t\mathrm{d}[t(\frac{\pi }{2}–t)]=$$

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(\frac{\pi }{2}–2t)\mathrm{d}(\cos t)\Rightarrow$$

Next

分部积分 $\Rightarrow$

$$\cos t\cdot (\frac{\pi }{2}–2t){|}_0^{\frac{\pi }{2}}–{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\cos t\mathrm{d}(\frac{\pi }{2}–2t)=$$

$$\frac{-\pi }{2}+2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\cos t\mathrm{d}t=$$

$$\frac{-\pi }{2}+2\sin t{|}_0^{\frac{\pi }{2}}=–\frac{\pi }{2}+2.$$

本题计算过程中涉及到的负号较多，一定要格外注意。

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