遇到三角函数问题时要知道:不同的三角函数之间可以相互转换

一、题目题目 - 荒原之梦

01arcsinxarccosx dx=?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

t=arcsinx, 则:

arccosx=π2t

关于上面这个式子如何得出的,可以参考《反三角函数 arcsin x 和 arccos x 的关系》这篇文章。

x=sint

dx=d(sint)

x(0,1)

t=arcsinx(0,π2)

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于是:

01arcsinxarccosx dx=

0π2t(π2t) d(sint)

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分部积分

sintt(π2t)|0π20π2sint d[t(π2t)]=

()0π2sint d[t(π2t)]=

0π2(π22t) d(cost)

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分部积分

cost(π22t)|0π20π2cost d(π22t)=

π2+20π2cost dt=

π2+2sint|0π2=π2+2.

本题计算过程中涉及到的负号较多,一定要格外注意。


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