双剑合一：联合积分

一、题目

$$I_1=\int {\cos }^{4}x\mathrm{d}x=?$$

$$I_2=\int {\sin }^{4}x\mathrm{d}x=?$$

二、解析

本文涉及 $\sin$ 与 $\cos$ 这两个三角函数的 $4$ 次方，虽然 $4$ 次方只比 $2$ 次方多了一点，但是仍然有很多属于 $2$ 次方的性质是不能用的，类似的例子可以查看荒原之梦网的下面这篇文章：

《${\sin }^{4}x$ $+$ ${\cos }^{4}x$ 等于 $1$ 吗？》

介于本题对 $I_1$ 和 $I_2$ 这两个式子进行各个击破的难度比较高，因此，我们可以采取将 $I_1$ 和 $I_2$ 联合计算的方式进行求解。

本题求解过程中所用到的一些公式可以查看：《考研数学中常用的三角函数公式汇总》

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$$I_1+I_2=$$

$$\int {\cos }^{4}x\mathrm{d}x+\int {\sin }^{4}x\mathrm{d}x=$$

$$\int ({\cos }^{4}x+{\sin }^{4}x)\mathrm{d}x=$$

$$\int [({\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x{)}^2–2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x]\mathrm{d}x=$$

$$\int (1–2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x)\mathrm{d}x=$$

$$\int [1–2(\sin x\cos x{)}^2]\mathrm{d}x=$$

$$\int [1–2(\frac{1}{2}\sin 2x{)}^2]\mathrm{d}x=$$

$$\int [1–\frac{1}{2}(\sin 2x{)}^2]\mathrm{d}x=$$

$$\int (1–\frac{1}{2}\frac{1–\cos 4x}{2})\mathrm{d}x=$$

$$\int [1–\frac{1}{4}(1–\cos 4x)]\mathrm{d}x=$$

$$\int (1–\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\cos 4x)\mathrm{d}x=$$

$$x–\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}\sin 4x+C_1=$$

$$\frac{3}{4}x+\frac{1}{16}\sin 4x+C_1.$$

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接着：

$$I_1–I_2=$$

$$\int {\cos }^{4}x\mathrm{d}x–\int {\sin }^{4}x\mathrm{d}x=$$

$$\int ({\cos }^{4}x–{\sin }^{4}x)\mathrm{d}x=$$

$$\int ({\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x)({\cos }^{2}x–{\sin }^{2}x)\mathrm{d}x=$$

$$\int ({\cos }^{2}x–{\sin }^{2}x)\mathrm{d}x=$$

$$\int \cos 2x\mathrm{d}x=$$

$$\frac{1}{2}\sin 2x+C_2.$$

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即：

$$\{\begin{array}{ll}& I_1+I_2=\frac{3}{4}x+\frac{1}{16}\sin 4x+C_1\\ & I_1–I_2=\frac{1}{2}\sin 2x+C_2\end{array}\Rightarrow$$

$$I_1=\frac{1}{2}(\frac{3}{4}x+\frac{1}{16}\sin 4x+\frac{1}{2}\sin 2x)+C_3\Rightarrow$$

$$I_1=\frac{3}{8}x+\frac{1}{32}\sin 4x+\frac{1}{4}\sin 2x+C_3$$

$$I_2=\frac{1}{2}(\frac{3}{4}x+\frac{1}{16}\sin 4x–\frac{1}{2}\sin 2x)+C_4\Rightarrow$$

$$I_2=\frac{3}{8}x+\frac{1}{32}\sin 4x–\frac{1}{4}\sin 2x+C_4$$

其中，$C_1$, $C_2$, $C_3$, $C_4$ 均为任意常数。

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