双剑合一:联合积分

一、题目题目 - 荒原之梦

I1=cos4x dx=?

I2=sin4x dx=?

二、解析 解析 - 荒原之梦

本文涉及 sincos 这两个三角函数的 4 次方,虽然 4 次方只比 2 次方多了一点,但是仍然有很多属于 2 次方的性质是不能用的,类似的例子可以查看荒原之梦网的下面这篇文章:

sin4x + cos4x 等于 1 吗?

介于本题对 I1I2 这两个式子进行各个击破的难度比较高,因此,我们可以采取将 I1I2 联合计算的方式进行求解。

本题求解过程中所用到的一些公式可以查看:《考研数学中常用的三角函数公式汇总

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I1+I2=

cos4x dx+sin4x dx=

(cos4x+sin4x) dx=

[(cos2x+sin2x)22sin2xcos2x] dx=

(12sin2xcos2x) dx=

[12(sinxcosx)2] dx=

[12(12sin2x)2] dx=

[112(sin2x)2] dx=

(1121cos4x2) dx=

[114(1cos4x)] dx=

(114+14cos4x) dx=

x14x+1414sin4x+C1=

34x+116sin4x+C1.

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接着:

I1I2=

cos4x dxsin4x dx=

(cos4xsin4x) dx=

(cos2x+sin2x)(cos2xsin2x) dx=

(cos2xsin2x) dx=

cos2xdx=

12sin2x+C2.

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即:

{I1+I2=34x+116sin4x+C1I1I2=12sin2x+C2

I1=12(34x+116sin4x+12sin2x)+C3

I1=38x+132sin4x+14sin2x+C3

I2=12(34x+116sin4x12sin2x)+C4

I2=38x+132sin4x14sin2x+C4

其中,C1, C2, C3, C4 均为任意常数。


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