等价无穷小的组合变体：以 $(1 + x)^{a} \sim ax$ 为例

一、前言

根据荒原之梦网的《高等数学中常用的等价无穷小》这篇文章可知，当 $x \rightarrow 0$ 时，有：

$$
\begin{cases}
& (1 + x)^{a} \sim ax; \\
& \sin x \sim \arcsin x \sim \tan x \sim \arctan x \sim x.
\end{cases}
$$

其中，$a$ 为常数。

在实际应用中，我们可以将上面的等价无穷小组合起来，形成新的“变体”，在本文中，将给出几个相关的例子。

二、正文

变体一：$(1 + x)^{a} \sim ax$ 与 $\tan x \sim x$

$$
\sqrt{1 + \tan x} – 1 \Rightarrow
$$

$$
(1 + \tan x)^{\frac{1}{2}} – 1 \sim \frac{1}{2} \tan x
$$

变体二：$(1 + x)^{a} \sim ax$ 与 $\sin x \sim x$

$$
\sqrt{1 – \sin x} – 1 \Rightarrow
$$

$$
(1 – \sin x)^{\frac{1}{2}} – 1 \sim \frac{-1}{2} \sin x
$$

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