巧设特例，秒解题：一定要保证特例符合题意

一、题目

已知函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处连续，且有 $f(1)=1$, 则 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}$ $\ln [2+f(x^{\frac{1}{x}})]$ $=$ $?$

难度评级：

二、解析

解法 1：巧设满足题目要求的特例

根据题目，我们可以将函数 $f(x)$ 设为如下满足题目条件的特例：

$$f(x)=1$$

进而：

$$f(x^{\frac{1}{x}})=1.$$

于是：

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\ln [2+f(x^{\frac{1}{x}})]=\ln (2+1)=\ln 3.$$

解法 2：用 $e$ 抬起做的标准解法

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x^{\frac{1}{x}})=$$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(e^{\frac{1}{x}\ln x})=$$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(e^{\frac{\ln x}{x}})\Rightarrow$$

Next

洛必达 $\Rightarrow$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(e^{\frac{\frac{1}{x}}{1}})=$$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(e^{\frac{1}{x}})=f(e^0)=f(1)=1.$$

于是：

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\ln [2+f(x^{\frac{1}{x}})]=\ln (2+1)=\ln 3.$$

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