有根号先去掉根号：$\int_{0}^{\pi^{2}}$ $\sqrt{x}$ $\cos \sqrt{x}$ $\mathrm{d} x$

一、题目

$$
\int_{0}^{\pi^{2}} \sqrt{x} \cos \sqrt{x} \mathrm{d} x = ?
$$

难度评级：

二、解析

本题中含有根号，一般情况下，我们需要首先去掉根号，于是，令 $t$ $=$ $\sqrt{x}$, 则：

$$
x = t^{2}
$$

$$
\mathrm{d} x = 2 t \cdot \mathrm{d} t
$$

$$
x \in (0, \pi^{2}) \Rightarrow t \in (0, \pi)
$$

Next

于是：

$$
\int_{0}^{\pi^{2}} \sqrt{x} \cos \sqrt{x} \mathrm{d} x =
$$

$$
2 \int_{0}^{\pi} t^{2} \cos t \mathrm{d} x \Rightarrow
$$

Next

分部积分 $\Rightarrow$

$$
2 \int_{0}^{\pi} t^{2} \mathrm{d} (\sin t) =
$$

$$
2 t^{2} \sin t \big|_{0}^{\pi} – 2 \int{0}^{\pi} \sin t \mathrm{d} (t^{2}) \Rightarrow
$$

$$
0 – 2 \int_{0}^{\pi} \sin t \mathrm{d} (t^{2}) \Rightarrow
$$

$$
(- 4) \cdot \int_{0}^{\pi} t \sin t \mathrm{d} t.
$$

Next

由公式 $\int_{0}^{\pi}$ $x f(\sin x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{\pi}{2}$ $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $f(\sin x)$ $\mathrm{d} x$, 可知：

$$
(- 4) \cdot \int_{0}^{\pi} t \sin t \mathrm{d} t =
$$

$$
(- 4) \cdot \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} \sin t \mathrm{d} t =
$$

$$
(- 4) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot (- \cos t) \big|_{0}^{\pi} =
$$

$$
2 \pi \cdot (-1 – 1) = -4 \pi.
$$

---