计算定积分 ${\int }_0^{\pi }$ $x{\sin }^{2}x$ $\mathrm{d}x$

一、题目

$${\int }_0^{\pi }x{\sin }^{2}x\mathrm{d}x=?$$

难度评级：

二、解析

由《这篇文章》的结论可知：

$${\int }_0^{\pi }xf(\sin x)\mathrm{d}x=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }f(\sin x)\mathrm{d}x.$$

Next

于是：

$${\int }_0^{\pi }x{\sin }^{2}x\mathrm{d}x=$$

$$\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}x\mathrm{d}x.$$

Next

进而，根据区间的对称性可知：

$$\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}x\mathrm{d}x=$$

$$\frac{\pi }{2}\cdot 2\cdot {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{2}x\mathrm{d}x=$$

$$\pi \cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{{\pi }^2}{4}.$$

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