计算函数 $y$ $=$ $\frac{e^x–e^{-x}}{2}$ 的反函数

一、题目

$y$ $=$ $\frac{e^x–e^{-x}}{2}$ 的反函数是多少？

难度评级：

二、解析

首先，我们要明白，一个函数的反函数并不是直接对原函数中的 $x$ 和 $y$ 进行互换就可以的，而是需要先将原函数 $y$ $=$ $f(x)$ 转化为等价的 $x$ $=$ $g(y)$ 的形式，之后，为了形式上符合通用的做法（用 $x$ 表示自变量，用 $y$ 表示因变量） 才将 $x$ $=$ $g(y)$ 中的 $x$ 和 $y$ 互换，写成 $y$ $=$ $g(x)$ 的形式。

因此，$y$ $=$ $\frac{e^x–e^{-x}}{2}$ 的反函数不是 $x$ $=$ $\frac{e^y–e^{-y}}{2}$.

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以下是正确的计算步骤：

$$y=\frac{e^x–e^{-x}}{2}\Rightarrow$$

$$2y=e^x–e^{-x}\Rightarrow$$

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两边同乘 $e^x$ $\Rightarrow$

$$2y{e}^x=e^{2x}–1\Rightarrow$$

$$e^{2x}–2y{e}^x–1=0.$$

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令 $t$ $=$ $e^x$, 则：

$$t^2–2yt–1=0\Rightarrow$$

$$t=\frac{2y\pm \sqrt{4y^2+4}}{2}\Rightarrow$$

$$t=\frac{2y\pm 2\sqrt{y^2+1}}{2}\Rightarrow$$

$$t=y\pm \sqrt{y^2+1}\Rightarrow$$

$$e^x=y\pm \sqrt{y^2+1}.$$

Next

又由于 $e^x$ $>$ $0$, 而 $y$ $-$ $\sqrt{y^2+1}$ $<$ $0$, 因此：

$$e^x=y+\sqrt{y^2+1}\Rightarrow$$

$$x=\ln (y+\sqrt{y^2+1})\Rightarrow$$

互换 $x$ 和 $y$ $\Rightarrow$

$$y=\ln (x+\sqrt{x^2+1}).$$

综上可知，$y$ $=$ $\frac{e^x–e^{-x}}{2}$ 的反函数是 $y$ $=$ $\ln (x+\sqrt{x^2+1})$.

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