三元函数求双条件极值：拉格朗日函数的构造（B013）

问题

根据拉格朗日乘数法，若要求函数 $u$ $=$ $f(x,y,z)$ 在 ${\phi }_1(x,y,z)$ $=$ $0$ 和 ${\phi }_2(x,y,z)$ $=$ $0$ 两个条件约束下的极值，如何构造拉格朗日函数 $F(x,y,z)$ ?

选项

[A].   $F(x,y,z)$ $=$ $f(x,y,z)$ $+$ ${\lambda }_1$ ${\phi }_1(x,y,z)$ $+$ ${\lambda }_2$ ${\phi }_2(x,y,z)$

[B].   $F(x,y,z)$ $=$ $f(x,y,z)$ $+$ $\frac{1}{{\lambda }_1}$ ${\phi }_1(x,y,z)$ $+$ $\frac{1}{{\lambda }_2}$ ${\phi }_2(x,y,z)$

[C].   $F(x,y,z)$ $=$ $\lambda$ $f(x,y,z)$ $+$ ${\lambda }_1$ ${\phi }_1(x,y,z)$ $+$ ${\lambda }_2$ ${\phi }_2(x,y,z)$

[D].   $F(x,y,z)$ $=$ $f(x,y,z)$ $-$ ${\lambda }_1$ ${\phi }_1(x,y,z)$ $-$ ${\lambda }_2$ ${\phi }_2(x,y,z)$

   答 案   

$F(x,y,z)$ $=$ $f(x,y,z)$ $+$ ${\lambda }_1$ ${\phi }_1(x,y,z)$ $+$ ${\lambda }_2$ ${\phi }_2(x,y,z)$