三元函数求双条件极值：拉格朗日函数的构造（B013）

问题

根据拉格朗日乘数法，若要求函数 $u$ $=$ $f(x, y, z)$ 在 $\varphi_{1}(x, y, z)$ $=$ $0$ 和 $\varphi_{2}(x, y, z)$ $=$ $0$ 两个条件约束下的极值，如何构造拉格朗日函数 $F(x, y, z)$ ?

选项

[A].   $F(x, y, z)$ $=$ $f(x, y, z)$ $+$ $\lambda_{1}$ $\varphi_{1}(x, y, z)$ $+$ $\lambda_{2}$ $\varphi_{2}(x, y, z)$

[B].   $F(x, y, z)$ $=$ $f(x, y, z)$ $+$ $\frac{1}{\lambda_{1}}$ $\varphi_{1}(x, y, z)$ $+$ $\frac{1}{\lambda_{2}}$ $\varphi_{2}(x, y, z)$

[C].   $F(x, y, z)$ $=$ $\lambda$ $f(x, y, z)$ $+$ $\lambda_{1}$ $\varphi_{1}(x, y, z)$ $+$ $\lambda_{2}$ $\varphi_{2}(x, y, z)$

[D].   $F(x, y, z)$ $=$ $f(x, y, z)$ $-$ $\lambda_{1}$ $\varphi_{1}(x, y, z)$ $-$ $\lambda_{2}$ $\varphi_{2}(x, y, z)$

   答 案   

$F(x, y, z)$ $=$ $f(x, y, z)$ $+$ $\lambda_{1}$ $\varphi_{1}(x, y, z)$ $+$ $\lambda_{2}$ $\varphi_{2}(x, y, z)$