标签： 高等数学练习题

一、题目

已知：

$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 6 x-(\sin x) f(x)}{x^3} = 0
$$

则：

$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{6-f(x)}{x^2} = ?
$$

难度评级：

继续阅读“常用的极限两原则：拆分之后的所有式子都要有极限且只能在乘除法之间使用等价无穷小替换”

一、题目

已知

$$
z = \left(y^x+\frac{\sin x}{\sqrt{x^2+2 y^2}}\right)^{\sqrt{x^2+y^2}}
$$

则 $\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(0,1)}$ $=$ $?$

难度评级：

继续阅读“直接用求导公式求导太复杂时就要尝试用使用导数的定义求导：只适用于求解一点处的导数”

一、题目

已知 $z$ $=$ $\mathrm{e}^x$ $-$ $\mathrm{e}^{x+y}$ $+$ $y^2$ $+$ $(x+y)^3$, 则 $\frac{\partial z}{\partial x} = ?$

难度评级：

继续阅读“y 不一定就是 x 的函数”

一、题目

已知 $f(x, y)$ $=$ $\frac{x^2+y^2}{e^{x y}+x y \sqrt{x^2+y^2}}$, 则 $f_{x}^{\prime}(1,0) = ?$

难度评级：

继续阅读“只对 x 求偏导时，y 的值可以提前代入”

一、题目

$$
I_{1} = \int \cos ^4 x \mathrm{~d} x = ?
$$

$$
I_{2} = \int \sin ^4 x \mathrm{~d} x = ?
$$

继续阅读“双剑合一：联合积分”

一、题目

$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} \sqrt{k}}{\sum_{k=1}^{n} \sqrt{n+k}} = ?
$$

难度评级：

继续阅读“遇到数列求和就要考虑是否可以使用定积分的定义求解”

一、题目

已知：

$$
f(x) = \left\{\begin{array}{ll} \sin x+1, & x>0, \\ \frac{1}{1+x^2}, & x \leqslant 0,\end{array}\right.
$$

则 $f(x)$ 的所有原函数是多少？

难度评级：

继续阅读“对于解题过程中的未知数要想一想有没有办法求出来：以“可导必连续”为例”

一、题目

已知，有界函数 $f(x)$ 在区间 $(c, +\infty)$ 内可导，且 $\lim f^{\prime}(x)$ $=$ $b$, 则 $b$ $=$ $?$

难度评级：

继续阅读“导数的值反映的是原函数的增长率”

一、题目

$$
\int \frac{x e^{x}}{\sqrt{1 + e^{x}}} \mathrm{d} x = ?
$$

难度评级：

继续阅读“分母上的根号可以通过求导去除”

一、题目

$$
\int \frac{\sqrt{x + 1} + 2}{(x + 1)^{2}} \mathrm{d} x = ?
$$

难度评级：

继续阅读“给根号换个形式：不去根号胜去根号”

一、题目

$$
\int \sqrt{\frac{3-2 x}{3+2 x}} \mathrm{d} x = ?
$$

难度评级：

继续阅读“两种方法去根号：分子有理化或整体代换”

一、题目

已知 $\int x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ $=$ $\arctan x + C$, 则 $f(x) = ?$

难度评级：

继续阅读“当积分符号无法通过积分运算消去时，就要尝试通过求导运算消去”

一、题目

已知 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处可导且 $f(0) = 1$, $f^{\prime}(0) = 3$, 则 $I = \lim _{n \rightarrow \infty}\left[f\left(\frac{1}{n}\right)\right]^{\frac{\frac{1}{n}}{1 – \cos \frac{1}{n}}} = ?$

难度评级：

原标题：《当函数只说了在一点处可导时，不要使用求导法则进行求导运算：要使用导数的定义对特定的点进行求导》

继续阅读“分子或分母中有极限和数字的加减法时不能直接把极限值代入式子中参与运算——但只有极限没有数字的时候可以代入极限值参与运算”

一、题目

曲线 $y = \ln x$ 上与直线 $x + y = 2$ 垂直的切线方程是多少？

难度评级：

继续阅读“导数的几何类问题：求解曲线上与指定直线垂直的切线的方程”

一、题目

已知 $y = y(x)$ 在区间 $(-1,1)$ 上二阶可导，且满足方程：

$$
\left(1-x^2\right) \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} x^2}-x \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}+a^2 y=0
$$

那么，作变量替换 $x = \sin t$ 后，$y$ 作为 $t$ 的函数 $y(t)$ 应满足的方程是多少？

难度评级：

继续阅读“用两种不同的思路解决一道隐函数变量替换的题目”