标签： 高等数学练习题

一、题目

已知函数 $f(x)$ 具有连续的一阶导数, 且满足 $f(x)$ $=$ ${\int }_0^x$ $\left(x^2–t^2\right)$ $f^{\prime }(t)$ $\mathrm{d}t$ $+$ $x^2$, 求 $f(x)$ 的表达式。

难度评级：

继续阅读“变限积分+微分方程：已知 $f(x)$ $=$ ${\int }_0^x$ $\left(x^2–t^2\right)$ $f^{\prime }(t)$ $\mathrm{d}t$ $+$ $x^2$ 求 $f(x)$”

一、题目

方程 $y^{\prime \prime }$ $+$ $y$ $=$ ${\mathrm{e}}^x$ $+$ $1$ $+$ $\sin x$ 的特解形式为（ ）

难度评级：

继续阅读“微分方程的解具有可加性”

一、题目

方程 $y^{\prime \prime }$ $-$ $2y^{\prime }$ $=$ $x{\mathrm{e}}^{2x}$ 特解的形式是（ ）

难度评级：

本题所用到的知识可以参考：《用待定系数法求解非齐次线性方程特解时特解的假设方法》

继续阅读“求解方程 $y^{\prime \prime }$ $-$ $2y^{\prime }$ $=$ $x{\mathrm{e}}^{2x}$ 特解的形式”

一、题目

具有特解 $y_1$ $=$ ${\mathrm{e}}^{-x}$, $y_2$ $=$ $2x$ ${\mathrm{e}}^{-x}$, $y_3$ $=$ $3{\mathrm{e}}^x$ 的三阶常系数线性齐次方程为（ ）

继续阅读“求解具有特解 $y_1$ $=$ ${\mathrm{e}}^{-x}$, $y_2$ $=$ $2x$ ${\mathrm{e}}^{-x}$, $y_3$ $=$ $3{\mathrm{e}}^x$ 的三阶常系数线性齐次方程”

一、题目

$$\int \frac{1+x}{1+x^3}\mathrm{d}x=?$$

$$\int \frac{1-x}{1+x^3}\mathrm{d}x=?$$

这两个式子只相差了一个加减符号，但是计算得出的结果却有很大不同，因此，在求解数学题的时候，一定不能想当然的以为就该有什么样的结果——得出的任何结论都要建立在有效的定理和严格的推理之上。

难度评级：

继续阅读“差之毫厘，谬以千里：$\int$ $\frac{1+x}{1+x^3}$ $\mathrm{d}x$ 和 $\int$ $\frac{1-x}{1+x^3}$ $\mathrm{d}x$”

一、题目

$$\int \frac{{\cos }^{2}x\sin x}{{\sin }^{2}x}\mathrm{d}x=？$$

难度评级：

继续阅读“巧用三角函数凑微分，化不同为相同：$\int$ $\frac{{\cos }^{2}x\sin x}{{\sin }^{2}x}$ $\mathrm{d}x$”

一、题目

方程 $y^{\prime \prime }$ $+$ $4y^{\prime }$ $+$ $4y$ $=$ $e^{-2x}$ 满足 $y(0)$ $=$ $0$, $y^{\prime }(0)$ $=$ $1$ 的特解是多少？

难度评级：

继续阅读“求解 $y^{\prime \prime }$ $+$ $4y^{\prime }$ $+$ $4y$ $=$ $e^{-2x}$ 满足指定条件的特解”

一、题目

求解下面这个函数的全微分：

$$z=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$$

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继续阅读“求解 $z$ $=$ $\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 的全微分”

一、题目

$$\int \frac{\sin x}{\sin x+\cos x}\mathrm{d}x=?$$

难度评级：

继续阅读“加加减减，凑凑拆拆：$\int$ $\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}$ $\mathrm{d}x$”

一、题目

$$\tan (\arccos x)=?$$

难度评级：

继续阅读“计算嵌套三角函数之：$\tan$ 与 $\arccos$”

一、题目

$$\sin (\arccos x)=?$$

难度评级：

继续阅读“计算嵌套三角函数之：$\sin$ 与 $\arccos$”

一、题目

已知 $f(\ln x)$ $=$ $\frac{\ln (1+x)}{x}$, 则：

$$\int f(x)\mathrm{d}x=?$$

难度评级：

继续阅读“只要整体替换，全都可以替换：已知 $f(\ln x)$ $=$ $\frac{\ln (1+x)}{x}$, 求 $\int$ $f(x)$ $\mathrm{d}x$”

一、题目

$$\int \frac{1}{1+e^x}\mathrm{d}x=?$$

难度评级：

继续阅读“巧用 $e^x$ 之两种方法解 $\int$ $\frac{1}{1+e^x}$ $\mathrm{d}x$”

一、题目

$$\int \frac{1}{x+x^2}\mathrm{d}x=?$$

难度评级：

继续阅读“乘法变减法，轻松化“尴尬”：$\int$ $\frac{1}{x+x^2}$ $\mathrm{d}x$”

一、题目

$$\int e^x\arcsin \sqrt{1-e^{2x}}\mathrm{d}x=?$$

难度评级：

继续阅读“适时而止，更简单：$\int$ $e^x$ $\arcsin \sqrt{1-e^{2x}}$ $\mathrm{d}x$”