标签： 向量组的线性表示

问题

根据向量组等价的定义，下面的说法是否正确：

如果向量组 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}}$ 能 线 性 表 示 向量组 $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{B}}$, 则这两个向量组等价。

选项

[A].   正确

[B].   不正确

[C].   无法确定

   答 案   

题干中的说法 不 正 确 。

正 确 的表述如下：

如果向量组 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}}$ 与向量组 $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{B}}$ 能 互 相 线 性 表 示 ，则称这两个向量组 等 价 。

问题

下面的说法 是 否 正 确 ：

有两个向量组 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}:}$ $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}$, $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}$, $\textcolor{orange}{\cdots}$, $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{\boldsymbol{m}}}$ 和 $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{B}:}$ $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\beta}_{1}}$, $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\beta}_{2}}$, $\textcolor{cyan}{\cdots}$, $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\beta}_{\boldsymbol{s}}}$, 如果向量组 $\boldsymbol{B}$ 中存在能由向量组 $\boldsymbol{A}$ 线性表示的向量, 则称向量组 $\boldsymbol{B}$ 能由向量组 $\boldsymbol{A}$ 线性表示。

选项

[A].   正确

[B].   不正确

[C].   无法判断

   答 案   

题干中的说法 不 正 确 。

正 确 的说法如下：

如果向量组 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{B}}$ 中的 每 个 向 量 都能由向量组 $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{A}}$ 线性表示, 则称向量组 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{B}}$ 能由向量组 $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{A}}$ 线 性 表 示 。

问题

已知，有向量组 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}$, $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}$, $\textcolor{orange}{\cdots}$, $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{m}}$ 和向量 $\textcolor{red}{\boldsymbol{\beta}}$, 如果存在一组数 $\textcolor{cyan}{k_{1}}, \textcolor{cyan}{k_{2}}, \textcolor{cyan}{\cdots}$, $\textcolor{cyan}{k_{m}}$, 使下面哪个式子成立，就可以说明向量 $\boldsymbol{\beta}$ 能由向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{m}$ 线 性 表 示 （线性表出）？

选项

[A].   $\boldsymbol{\beta}$ $<$ $k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}$ $+$ $k_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $k_{m} \boldsymbol{\alpha}_{m}$

[B].   $\boldsymbol{\beta}$ $=$ $k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}$ $\times$ $k_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}$ $\times$ $\cdots$ $\times$ $k_{m} \boldsymbol{\alpha}_{m}$

[C].   $\boldsymbol{\beta}$ $=$ $k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}$ $+$ $k_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $k_{m} \boldsymbol{\alpha}_{m}$

[D].   $\boldsymbol{\beta}$ $>$ $k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}$ $+$ $k_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $k_{m} \boldsymbol{\alpha}_{m}$

   答 案   

$\textcolor{red}{\boldsymbol{\beta}}$ $=$ $\textcolor{cyan}{k_{1}} \textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}$ $+$ $\textcolor{cyan}{k_{2}} \textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\textcolor{cyan}{k_{m}} \textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{m}}$

问题

已知，表达式 $\textcolor{orange}{k_{1}}$ $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}$ $\textcolor{orange}{+}$ $\textcolor{orange}{k_{2}}$ $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}$ $\textcolor{orange}{+}$ $\textcolor{orange}{\cdots}$ $\textcolor{orange}{+}$ $\textcolor{orange}{k_{m}}$ $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{m}}$ 称为向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{m}$ 的线性组合，则实数 $k_{1}$, $k_{2}$, $\cdots$, $k_{m}$ 被称为该线性组合的 （ ） ？

选项

[A].   权值

[B].   倍数

[C].   系数

[D].   常数

   答 案   

系 数

问题

给定向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{m}$, 对任何一组实数 $k_{1}$, $k_{2}$, $\cdots$, $k_{m}$, 表达式 $\textcolor{orange}{k_{1}}$ $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}$ $\textcolor{orange}{+}$ $\textcolor{orange}{k_{2}}$ $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}$ $\textcolor{orange}{+}$ $\textcolor{orange}{\cdots}$ $\textcolor{orange}{+}$ $\textcolor{orange}{k_{m}}$ $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{m}}$ 称为向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{m}$ 的 （ ） ？

选项

[A].   其中一个线性组合

[B].   其中一个数乘组合

[C].   唯一的一个线性组合

[D].   其中一个非线性组合

   答 案   

其中一个 线 性 组 合