逆矩阵归档 - 第3页共3页

$n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆的充要条件：$\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{B}$（C010）

问题

已知，$\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶方阵，则当 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}}$ $\textcolor{orange}{\boldsymbol{B}}$ 满足如下哪个条件时，可以判断矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆？

选项

[A]. $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{B}$ $=$ $\boldsymbol{B}$

[B]. $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{B}$ $=$ $\boldsymbol{A}$

[C]. $| \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} |$ $=$ $1$

[D]. $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{B}$ $=$ $\boldsymbol{E}$

答案

$\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$ $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}$ $=$ $\boldsymbol{\textcolor{white}{E}}$
或
$\boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}$ $\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$ $=$ $\boldsymbol{\textcolor{white}{E}}$

$n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆的充要条件：$|\boldsymbol{A}|$（C010）

问题

已知，$\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵，则当矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的行列式 $\textcolor{orange}{|\boldsymbol{A}|}$ 满足如下哪个条件时，可以判断矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆？

选项

[A]. $|\boldsymbol{A}|$ $=$ $0$

[B]. $|\boldsymbol{A}|$ $\neq$ $0$

[C]. $|\boldsymbol{A}|^{2}$ $=$ $1$

[D]. $|\boldsymbol{A}|$ $=$ $1$

答案

$n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆 $\Leftrightarrow$ $\textcolor{orange}{|\boldsymbol{A}|}$ $\textcolor{red}{\neq}$ $\textcolor{cyan}{0}$

非奇异矩阵指的是什么？（C010）

问题

在线性代数中，非奇异矩阵指的是什么？

选项

[A]. 转置矩阵

[B]. 伴随矩阵

[C]. 不可逆矩阵

[D]. 可逆矩阵

答案

可逆矩阵有时候也被称为“非奇异矩阵”。

逆矩阵的定义（C010）

问题

已知矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶方阵，则以下哪个条件的成立可使矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 成为互逆矩阵？

选项

[A]. $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{B}$ $=$ $\boldsymbol{B}$ $\boldsymbol{A}$ $=$ $\boldsymbol{E}$

[B]. $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{B}$ $=$ $\boldsymbol{E}$

[C]. $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{B}$ $=$ $-$ $\boldsymbol{B}$ $\boldsymbol{A}$

[D]. $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{B}$ $=$ $\boldsymbol{B}$ $\boldsymbol{A}$

答案

设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，如果存在 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{B}$, 使得：
$\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$ $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}$ $=$ $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}$ $\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$ $=$ $\boldsymbol{\textcolor{red}{E}}$

则称 $\boldsymbol{A}$ 为可逆矩阵或非奇异矩阵，并称 $\boldsymbol{B}$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的逆矩阵，记作 $\boldsymbol{B}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{-1}$.

当然，$\boldsymbol{A}$ 也可以称为 $\boldsymbol{B}$ 的逆矩阵，记作 $\boldsymbol{A}$ $=$ $\boldsymbol{B}^{-1}$.

可逆矩阵的表示方法（C010）

问题

已知 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶可逆矩阵。则，以下哪个选项是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的逆矩阵的正确表示方法？

选项

[A]. $\boldsymbol{A}^{\top}$

[B]. $\boldsymbol{A}^{-1}$

[C]. $\boldsymbol{A}^{- \top}$

[D]. $\boldsymbol{A}^{*}$

答案

$\boldsymbol{A}^{\textcolor{orange}{-1}}$ 表示矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的逆矩阵

可逆矩阵的行列特征（C010）

问题

已知 $m$ 和 $n$ 均为常数，$\boldsymbol{A}$ 表示矩阵，则以下哪个行列特征结构的矩阵 $\boldsymbol{A}$ 最有可能是可逆矩阵？

选项

[A]. $\boldsymbol{A}_{n \times m}$

[B]. $\boldsymbol{A}_{n \times 1}$

[C]. $\boldsymbol{A}_{n \times n}$

[D]. $\boldsymbol{A}_{1 \times m}$

答案

$\boldsymbol{A}_{\textcolor{orange}{n} \times \textcolor{orange}{n}}$ 或者 $\boldsymbol{A}_{\textcolor{cyan}{m} \times \textcolor{cyan}{m}}$