克拉默法则归档 - 荒原之梦

问题

已知，有齐次线性方程组：

{\begin{cases} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = 0 \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} = 0 \\ ⋮ \\ a_{n 1} x_{1} + a_{n 2} x_{2} + \dots + a_{n n} x_{n} = 0 \end{cases}

且，该其次线性方程组的系数矩阵 $D$ $=$ $| \begin{array}{ccc} a_{11} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{n n} \end{array} |$

那么，当满足什么条件的时候，该线性方程组有且只有零解？

选项

[A].

D

\neq

1

[B].

D

=

0

[C].

D

\neq

0

[D].

D

=

1

答案

当 $D$ $\neq$ $0$ 时，该线性方程组只有零解：
$x_{1}$ $=$ $x_{2}$ $=$ $\dots$ $=$ $x_{n}$ $=$ $0$ .

问题

已知，有线性方程组：

{\begin{cases} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1} \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} = b_{2} \\ ⋮ \\ a_{n 1} x_{1} + a_{n 2} x_{2} + \dots + a_{n n} x_{n} = b_{n} \end{cases}

其系数行列式为 $D$ , 而 $D_{j}$ 则是把系数行列式 $D$ 中第 $j$ 列用常数项代替后所得到的 $n$ 阶行列式，其中 $j$ $=$ $1$ , $2$ , $\dots$ , $n$ .

则，根据克拉默法则，如果该线性方程组有唯一的解，那么，这组解该怎么表示？

选项

[A].

x_{1}

=

D_{1}

x_{2}

=

D_{2}

\dots

x_{n}

=

D_{n}

[B].

x_{1}

=

D_{1} D

x_{2}

=

D_{2} D

\dots

x_{n}

=

D_{n} D

[C].

x_{1}

=

\frac{D_{1}}{D}

x_{2}

=

\frac{D_{2}}{D}

\dots

x_{n}

=

\frac{D_{n}}{D}

[D].

x_{1}

=

\frac{D}{D_{1}}

x_{2}

=

\frac{D}{D_{2}}

\dots

x_{n}

=

\frac{D}{D_{n}}

答案

$x_{1}$ $=$ $\frac{D_{1}}{D}$ , $x_{2}$ $=$ $\frac{D_{2}}{D}$ , $\dots$ , $x_{n}$ $=$ $\frac{D_{n}}{D}$

问题

已知，有线性方程组：

{\begin{cases} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1} \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} = b_{2} \\ ⋮ \\ a_{n 1} x_{1} + a_{n 2} x_{2} + \dots + a_{n n} x_{n} = b_{n} \end{cases}

其系数行列式为：
$D$ $=$ $| \begin{array}{ccc} a_{11} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{n n} \end{array} |$

则，当系数行列式 $D$ 满足什么条件的时候，该线性方程组有唯一解？

选项

[A].

D

=

1

[B].

D

\neq

1

[C].

D

=

0

[D].

D

\neq

0

答案

$D$ $\neq$ $0$

问题

已知，有线性方程组：

{\begin{cases} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1} \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} = b_{2} \\ ⋮ \\ a_{n 1} x_{1} + a_{n 2} x_{2} + \dots + a_{n n} x_{n} = b_{n} \end{cases}

或者：
${\begin{cases} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = 0 \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} = 0 \\ ⋮ \\ a_{n 1} x_{1} + a_{n 2} x_{2} + \dots + a_{n n} x_{n} = 0 \end{cases}$

则，上述线性方程组的系数行列式 $D$ $=$ $?$

选项

[A].

D

=

| \begin{array}{ccc} a_{11} & \dots & a_{(1) (n - 1)} & b_{1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{(n - 1) (n - 1)} & b_{n} \end{array} |

[B].

D

=

| \begin{array}{ccc} a_{n 1} & \dots & a_{n n} \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{11} & \dots & a_{1 n} \end{array} |

[C].

D

=

| \begin{array}{ccc} a_{11} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{n n} \end{array} |

[D].

D

=

| \begin{array}{ccc} b_{1} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ b_{n} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} |

答案

$D$ $=$ $| \begin{array}{ccc} a_{11} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{n n} \end{array} |$

标签：克拉默法则

齐次线性方程组只有零解的情况（C006）

问题

选项

用克拉默法则计算线性方程组的解（C006）

问题

选项

通过系数行列式判断线性方程组是否有唯一解（C006）

问题

选项

线性方程组中的系数行列式（C006）

问题

选项