题目
设 $D$ 是由曲线 $y=x^{\frac{1}{3}}$, 直线 $x=a$ $(a>0)$ 及 $x$ 轴所围成的平面图形，$V_{x}$, $V_{y}$ 分别是 $D$ 绕 $x$ 轴，$y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积，若 $V_{y} = 10V_{x}$, 求 $a$ 的值。
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2013年考研数二第15题解析：等价无穷小
题目
当 $x \rightarrow 0$ 时，$1-\cos x \cdot \cos 2x \cdot \cos 3x$ 与 $ax^{n}$ 为等价无穷小，求 $n$ 与 $a$ 的值。
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题目
已知：
$$
A =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 1\\
-1 & 0 & a\\
0 & a & -1
\end{bmatrix},
$$
二次型 $f(x_{1}, x_{2}, x_{3})=X^{\top}(A^{\top}A)X$ 的秩为 $2$.
$(Ⅰ)$ 求实数 $a$ 的值；
$(Ⅱ)$ 求正交变换 $x=Qy$, 将 $f$ 化为标准形。
继续阅读“2012年考研数二第23题解析：二次型基础、二次型化为标准型、秩”2012年考研数二第22题解析：行列式的按行（列）展开定理、非齐次线性方程组求解
题目
设：
$$
A=\begin{bmatrix}
1 & a & 0 & 0\\
0 & 1 & a & 0\\
0 & 0 & 1 & a\\
a & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix},
$$
$$
\beta=
\begin{bmatrix}
1\\
-1\\
0\\
0
\end{bmatrix}.
$$
$(Ⅰ)$ 计算行列式 $|A|$.
$(Ⅱ)$ 当实数 $a$ 为何值时，方程组 $AX=\beta$ 有无穷多解，并求其通解。
继续阅读“2012年考研数二第22题解析：行列式的按行（列）展开定理、非齐次线性方程组求解”2012年考研数二第21题解析：数列、零点定理、极限
题目
$(Ⅰ)$ 证明方程 $x^{n} + x^{n-1} + \cdot \cdot \cdot + x = 1$ $(n>1 且为整数)$ 在区间 $(\frac{1}{2}, 1)$ 内有且仅有一个实根；
$(Ⅱ)$ 记 $(Ⅰ)$ 中的实根为 $x_{n}$, 证明 $\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在，并求此极限。
继续阅读“2012年考研数二第21题解析：数列、零点定理、极限”2012年考研数二第20题解析：求导、单调性、最值点、拐点
题目
证明：
$$
x \ln \frac{1+x}{1-x} + \cos x \geqslant 1 + \frac{x^{2}}{2}.
$$
其中：
$$
-1 < x < 1.
$$
2012年考研数二第19题解析：一阶线性微分方程、拐点
题目
已知函数 $f(x)$ 满足方程 $f^{”}(x) + f^{‘}(x) – 2f(x) =0$ 及 $f^{”}(x) + f(x) = 2e^{x}$.
$(Ⅰ)$ 求 $f(x)$ 的表达式；
$(Ⅱ)$ 求曲线 $y=f(x^{2}) \int_{0}^{x} f(-t^{2})dt$ 的拐点。
继续阅读“2012年考研数二第19题解析：一阶线性微分方程、拐点”2012年考研数二第18题解析：极坐标系下二重积分的计算
题目
计算二重积分 $\iint_{D} xy d \sigma$, 其中，区域 $D$ 由曲线 $r=1+\cos \theta$ $(0 \leqslant \theta \leqslant \pi)$ 与极轴围成。
继续阅读“2012年考研数二第18题解析：极坐标系下二重积分的计算”2012年考研数二第17题解析：一重定积分、分部积分法、旋转体的体积、圆锥的体积
题目
过点 $(0,1)$ 作曲线 $L:$ $y = \ln x$ 的切线，切点为 $A$, 又 $L$ 与 $x$ 轴交于 $B$ 点，区域 $D$ 由 $L$ 与直线 $AB$ 围成，求区域 $D$ 的面积及 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积。
继续阅读“2012年考研数二第17题解析：一重定积分、分部积分法、旋转体的体积、圆锥的体积”2012年考研数二第16题解析：二维（二元）函数求偏导与极值
2012年考研数二第15题解析：常用等价无穷小、同阶无穷小、极限
题目
已知函数 $f(x) = \frac{1+x}{\sin x} – \frac{1}{x}$, 记 $a = \lim_{x \rightarrow 0} f(x)$.
$(Ⅰ)$ 求 $a$ 的值；
$(Ⅱ)$ 若当 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x) – a$ 与 $x^{k}$ 是同阶无穷小量，求常熟 $k$ 的值。
继续阅读“2012年考研数二第15题解析：常用等价无穷小、同阶无穷小、极限”2011年考研数二第23题解析：实对称矩阵、特征值和特征向量、向量正交运算
题目
设 $A$ 为三阶实对称矩阵，$A$ 的秩为 $2$, 且：
$$
A \begin{bmatrix}
1 & 1\\
0 & 0\\
-1 & 1
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
-1 & 1\\
0 & 0\\
1 & 1
\end{bmatrix}.
$$
$(Ⅰ)$ 求 $A$ 的所有特征值与特征向量
$(Ⅱ)$ 求矩阵 $A$.
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题目
设向量组 $\alpha_{1} = (1,0,1)^{\top}$, $\alpha_{2} = (0,1,1)^{\top}$, $\alpha_{3} = (1,3,5)^{\top}$ 不能由向量组 $\beta_{1}=(1,1,1)^{\top}$, $\beta_{2} = (1,2,3)^{\top}$, $\beta_{3} = (3,4,a)^{\top}$ 线性表示。
$(Ⅰ)$ 求 $a$ 的值；
$(Ⅱ)$ 将 $\beta_{1}$, $\beta_{2}$, $\beta_{3}$ 用 $\alpha_{1}$, $\alpha_{2}$, $\alpha_{3}$ 线性表示。
继续阅读“2011年考研数二第22题解析：线性相关、线性表示、秩、可逆矩阵”2011年考研数二第21题解析：二重积分、分部积分
题目
已知函数 $f(x,y)$ 具有二阶连续偏导数，且 $f(1,y) = 0$, $f(x,1)=0$, $\iint_{D} f(x,y) dx dy = a$, 其中，$D={(x,y) | 0 \leqslant x \leqslant 1, 0 \leqslant y \leqslant 1}$, 计算二重积分 $I = \iint_{D} xy f_{xy}^{”}(x,y) dxdy$.
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题目
一容器的内侧是由图中曲线绕 $y$ 轴旋转一周而成的曲面，该曲线由 $x^{2} + y^{2} = 2y$ $ (y \geqslant \frac{1}{2})$ 与 $x^{2} + y^{2} = 1$ $(y \leqslant \frac{1}{2})$ 连接而成。
$(Ⅰ)$ 求容器的容积；
$(Ⅱ)$ 若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？
（长度单位：$m$, 重力加速度为 $g$ $ m/s^{2}$, 水的密度为 $10^{3}$ $kg/m^{3}$）
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