标签： 考研数二真题

题目

求曲线 $x^3-xy+y^3=1$ $(x⩾0,y⩾0)$ 上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。

一、题目

设奇函数 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上具有二阶导数，且 $f(1)=1$. 证明：

$(\mathrm{Ⅰ})$ 存在 $\xi \in (0,1)$, 使得 $f^{‘}(\xi )=1$;

$(\mathrm{Ⅱ})$ 存在 $\eta \in (-1,1)$, 使得 $f^{”}(\eta )+f^{‘}(\eta )=1$.

题目

设平面区域 $D$ 由直线 $x=3y$, $y=3x$ 与 $x+y=8$ 围成。计算 ${\iint }_D{x}^{2}dxdy.$

题目

设 $D$ 是由曲线 $y=x^{\frac{1}{3}}$, 直线 $x=a$ $(a>0)$ 及 $x$ 轴所围成的平面图形，$V_x$, $V_y$ 分别是 $D$ 绕 $x$ 轴，$y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积，若 $V_y=10V_x$, 求 $a$ 的值。

题目

当 $x\to 0$ 时，$1-\cos x\cdot \cos 2x\cdot \cos 3x$ 与 $a{x}^n$ 为等价无穷小，求 $n$ 与 $a$ 的值。

题目

$(\mathrm{Ⅰ})$ 证明方程 $x^n+x^{n-1}+\cdot \cdot \cdot +x=1$ $(n>1\mathrm{且}\mathrm{为}\mathrm{整}\mathrm{数})$ 在区间 $(\frac{1}{2},1)$ 内有且仅有一个实根；

$(\mathrm{Ⅱ})$ 记 $(\mathrm{Ⅰ})$ 中的实根为 $x_n$, 证明 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n$ 存在，并求此极限。

题目

证明：

$$x\ln \frac{1+x}{1-x}+\cos x⩾1+\frac{x^2}{2}.$$

其中：

$$-1<x<1.$$