题目
设 $A=\begin{bmatrix}
1 & -2 & 3 & -4\\
0 & 1 & -1 & 1\\
1 & 2 & 0 & -3
\end{bmatrix}$, $E$ 为三阶单位矩阵.
$(Ⅰ)$ 求方程组 $AX=0$ 的一个基础解系.
$(Ⅱ)$ 求满足 $AB=E$ 的所有矩阵 $B$.
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2014年考研数二第21题解析：旋转体的体积、偏导数
题目
已知函数 $f(x,y)$ 满足 $\frac{\partial f}{\partial y} =$ $2(y+1)$, 且 $f(y,y) =$ $(y+1)^{2}-$ $(2-y) \ln y$, 求曲线 $f(x,y)=0$ 所围图形绕直线 $y=-1$ 旋转所成旋转体的体积.
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题目
设函数 $f(x)=$ $\frac{x}{1+x}$, $x \in [0,1]$, 定义数列：
$$
f_{1}(x) = f(x),
$$
$$
f_{2}(x) = f[f_{1}(x)],
$$
$$
\cdot \cdot \cdot,
$$
$$
f_{n}(x) = f[f_{n-1}(x)],
$$
$$
\cdot \cdot \cdot
$$
记 $S_{n}$ 是曲线 $y=f_{n}(x)$, 直线 $x=1$ 及 $x$ 轴所围平面图形的面积，求极限 $\lim_{n \rightarrow \infty} n S_{n}$.
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题目
设 $f(x)$, $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $f(x)$ 单调增加，$0 \leqslant g(x) \leqslant 1$, 证明：
$(Ⅰ)$ $0 \leqslant \int_{a}^{x} g(t) dt$ $\leqslant x-a$, $x \in [a,b]$;
$(Ⅱ)$ $\int_{a}^{a+\int_{a}^{b}g(t) dt} f(x) dx$ $\leqslant$ $\int_{a}^{b} f(x) g(x) dx$.
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题目
设函数 $f(u)$ 二阶连续可导，$z=f(e^{x} \cos y)$ 满足 $\frac{\partial ^{2} z}{\partial x^{2}} + \frac{\partial ^{2} z}{\partial y^{2}}$ $=(4z + e^{x} \cos y)e^{2x}$, 若 $f(0)=0$, $f^{‘}(0)=0$, 求 $f(u)$ 的表达式.
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题目
设平面区域 $D=$ $\{(x,y)|$ $1 \leqslant x^{2} + y^{2} \leqslant 4$, $x \geqslant 0$, $y \geqslant 0 \}$, 计算：
$$
\iint_{D} \frac{x \sin (\pi \sqrt{x^{2}+y^{2}})}{x+y} dxdy.
$$
解析
根据题目可知，积分区域 $D$ 是由两个圆心坐标均为 $(0,0)$, 半径分别为 $1$ 和 $2$ 的两个同心圆在直角坐标系的第一象限中围成的，如图 01 所示：
2014年考研数二第16题解析：一阶线性微分方程求极值、求导
题目
已知函数 $y=y(x)$ 满足微分方程 $x^{2}+y^{2}y^{‘} = 1-y^{‘}$, 且 $y(2)=0$, 求 $y=y(x)$ 的极大值与极小值.
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题目
求极限：
$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{ \int_{1}^{x}[t^{2}(e^{\frac{1}{t}}-1)-t] dt }{x^{2} \ln (1+\frac{1}{x})}.
$$
2013年考研数二第23题解析：二次型、二次型的标准型
题目
设二次型 $f(x_{1}, x_{2}, x_{3})=$ $2(a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + a_{3}x_{3})^{2} +$ $(b_{1}x_{1} + b_{2}x_{2} + b_{3}x_{3})^{2}$,
记 $\alpha=\begin{bmatrix}
a_{1}\\
a_{2}\\
a_{3}
\end{bmatrix}$, $\beta=\begin{bmatrix}
b_{1}\\
b_{2}\\
b_{3}
\end{bmatrix}$,
$(Ⅰ)$ 证明：二次型 $f$ 对应的矩阵为 $2\alpha \alpha ^{\top}+\beta \beta ^{\top}$
$(Ⅱ)$ 若 $\alpha$, $\beta$ 正交且均为单位向量，证明：$f$ 在正交变换下的标准形为 $2y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$.
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题目
设 $A=\begin{bmatrix}
1 & a\\
1 & 0
\end{bmatrix}$, $B=\begin{bmatrix}
0 & 1\\
1 & b
\end{bmatrix}$,
当 $a$, $b$ 为何值时，存在矩阵 $C$ 使得 $AC-CA=B$, 并求所有矩阵 $C$.
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题目
设曲线 $L$ 的方程为 $y=\frac{1}{4} x^{2} – \frac{1}{2} \ln x$ $(1 \leqslant x \leqslant e)$.
$(Ⅰ)$ 求 $L$ 的弧长；
$(Ⅱ)$ 设 $D$ 是由曲线 $L$, 直线 $x=1$, $x=e$ 及 $x$ 轴所围平面图形，求 $D$ 的形心的横坐标.
继续阅读“2013年考研数二第21题解析：平面曲线的弧长、平面图形的形心”2013年考研数二第20题解析：导数与最值、数列极限的判定与求解
题目
设函数 $f(x)=\ln x + \frac{1}{x}$.
$(Ⅰ)$ 求 $f(x)$ 的最小值；
$(Ⅱ)$ 设数列 ${x_{n}}$ 满足 $\ln x_{n} + \frac{1}{x_{n+1}}<1$. 证明 $\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在，并求此极限。
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题目
求曲线 $x^{3}-xy+y^{3}=1$ $(x \geqslant 0, y \geqslant 0)$ 上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。
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一、题目
设奇函数 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上具有二阶导数，且 $f(1)=1$. 证明：
$(Ⅰ)$ 存在 $\xi \in (0,1)$, 使得 $f^{‘}(\xi)=1$;
$(Ⅱ)$ 存在 $\eta \in (-1,1)$, 使得 $f^{”}(\eta) + f^{‘}(\eta)=1$.
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题目
设平面区域 $D$ 由直线 $x=3y$, $y=3x$ 与 $x+y=8$ 围成。计算 $\iint_{D} x^{2} dxdy.$
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