题目
编号：A2016220
设 $D$ 是由曲线 $y=\sqrt{1-x^{2}}$ $(0 \leqslant x \leqslant 1)$ 与 $\left\{\begin{matrix}
x= \cos ^{3} t;\\
y = \sin ^{3} t.
\end{matrix}\right.$ $(0 \leqslant t \leqslant \frac{\pi}{2})$ 围成的平面区域，求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积。
标签： 考研数二真题
2016年考研数二第19题解析：微分方程的降阶、一阶线性微分方程求解
题目
编号：A2016219
已知 $y_{1}(x) = \mathrm{e}^{x}$, $y_{2}(x) = u(x) \mathrm{e}^{x}$ 是二阶微分方程：
$$
(2x – 1) y^{\prime \prime} – (2x + 1) y^{\prime} + 2y = 0
$$
的两个解. 若 $u(-1) = \mathrm{e}$, $u(0) = -1$, 求 $u(x)$, 并写出该微分方程的通解.
2016年考研数二第18题解析：二重积分、二重积分的化简、极坐标系下二重积分的计算
题目
编号：A2016218
设 $D$ 是由直线 $y = 1$, $y = x$, $y = – x$ 围成的有界区域，计算二重积分：
$$
\iint_{D} \frac{x^{2} – xy – y^{2}}{x^{2} + y^{2}}.
$$
2016年考研数二第17题解析：利用偏导数求函数极值
题目
编号：A2016217
已知函数 $z =$ $z(x,y)$ 由方程 $(x^{2} +$ $y^{2}) z +$ $\ln z +$ $2(x + y + 1) = 0$ 确定，求 $z = z(x,y)$ 的极值.
2016年考研数二第16题解析：一重积分、变限积分、导数
题目
编号：A2016216
设函数 $f(x) =$ $\int_{0}^{1} |t^{2} – x^{2}| dt$ $(x > 0)$, 求 $f^{\prime}(x)$, 并求 $f(x)$ 的最小值.
2016年考研数二第15题解析：无穷小、$e$ 抬起、两个重要无穷小
一、题目
编号：A2016215
求极限：$\lim_{x \rightarrow 0} (\cos 2x + 2x \sin x)^{\frac{1}{x^{4}}}$
2015年考研数二第23题解析：相似矩阵、矩阵的相似对角化
题目
设矩阵 $A=\begin{bmatrix}
0 & 2 & -3\\
-1 & 3 & -3\\
1 & -2 & a
\end{bmatrix}$ 相似于矩阵 $B=\begin{bmatrix}
1 & -2 & 0\\
0 & b & 0\\
0 & 3 & 1
\end{bmatrix}$.
$(Ⅰ)$ 求 $a$, $b$ 的值；
$(Ⅱ)$ 求可逆矩阵 $P$, 使 $P^{-1} A P$ 为对角矩阵.
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题目
设矩阵 $A = \begin{bmatrix}
a & 1 & 0\\
1 & a & -1\\
0 & 1 & a
\end{bmatrix}$, 且 $A^{3} = O$.
$(Ⅰ)$ 求 $a$ 的值；
$(Ⅱ)$ 若矩阵 $X$ 满足 $X -$ $XA^{2} -$ $AX +$ $AXA^{2} =$ $E$, 其中 $E$ 为 $3$ 阶单位矩阵，求 $X$.
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题目
已知函数 $f(x)$ 在区间 $[a, + \infty)$ 上具有二阶导数，$f(a)=0$, $f^{‘}(x) > 0$, $f^{”}(x) > 0$, 设 $b > a$, 曲线 $y = f(x)$ 在点 $(b, f(b))$ 处的切线与 $x$ 轴的交点是 $(x_{0}, 0)$. 证明：$a < x_{0} < b$.
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题目
已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为 $120$ ℃ 的物体在 $20$ ℃ 的恒温介质中冷却，$30$ min 后该物体温度降至 $30$ ℃, 若要将该物体的温度降至 $21$ ℃, 还需要冷却多长时间？
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题目
已知函数 $f(x) =$ $\int_{x}^{1} \sqrt{1+t^{2}} {\rm d} t +$ $\int_{1}^{x^{2}} \sqrt{1+t} {\rm d} t$, 求 $f(x)$ 零点的个数.
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题目
计算二重积分 $\iint_{D} x(x+y) {\rm d} x {\rm d} y$, 其中 $D=$ $\left\{(x,y) | x^{2} + y^{2} \leqslant 2, y \geqslant x^{2} \right\}$.
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题目
已知函数 $f(x,y)$ 满足：
$$
f_{xy}^{”}(x,y) = 2(y+1)e^{x},
$$
$$
f_{x}^{‘}(x,0) = (x+1)e^{x},
$$
$$
f(0,y) = y^{2} + 2y.
$$
求 $f(x,y)$ 的极值.
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题目
设 $A>0$, $D$ 是由曲线段 $y=$ $A \sin x$ $(0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2})$ 及直线 $y=0$, $x = \frac{\pi}{2}$ 所围成的平面区域，$V_{1}$, $V_{2}$ 分别表示 $D$ 绕 $x$ 轴与绕 $y$ 轴旋转所成旋转体的体积，若 $V_{1}=V_{2}$, 求 $A$ 的值.
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题目
设函数 $f(x)=$ $x +$ $a \ln(1+x) +$ $bx \sin x$, $g(x)=$ $kx^{3}$. 若 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $x \rightarrow 0$ 时是等价无穷小，求 $a$, $b$, $k$ 的值.
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