一容器的内侧是由图中曲线绕 $y$ 轴旋转一周而成的曲面，该曲线由 $x^{2} + y^{2} = 2y$ $ (y \geqslant \frac{1}{2})$ 与 $x^{2} + y^{2} = 1$ $(y \leqslant \frac{1}{2})$ 连接而成。
$(Ⅰ)$ 求容器的容积；
$(Ⅱ)$ 若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？
（长度单位：$m$, 重力加速度为 $g$ $ m/s^{2}$, 水的密度为 $10^{3}$ $kg/m^{3}$）
继续阅读“2011年考研数二第20题解析：旋转体的体积、一重定积分”$(Ⅰ)$ 证明：对任意的正整数 $n$, 都有 $\frac{1}{n+1} < \ln(1+\frac{1}{n}) < \frac{1}{n}$ 成立.
$(Ⅱ)$ 设 $a_{n} =$ $1+$ $\frac{1}{2}+$ $…$ $+\frac{1}{n}$ $- \ln n$ $(n=1,2,…)$, 证明数列 ${a_{n}}$ 收敛.
继续阅读“2011年考研数二第19题解析：函数单调性、微分中值定理、定积分、数列”设函数 $y(x)$ 具有二阶导数，且曲线 $l$:$y=y(x)$ 与直线 $y=x$ 相切于原点，记 $\alpha$ 为曲线 $l$ 在点 $(x,y)$ 处切线的倾角，若 $\frac{d \alpha}{dx} = \frac{dy}{dx}$, 求 $y(x)$ 的表达式。
继续阅读“2011年考研数二第18题解析：导数、三角函数、对数、二阶微分方程”设函数 $z = f(xy, yg(x))$, 其中函数 $f$ 具有二阶连续偏导数，函数 $g(x)$ 可导且在 $x=1$ 处取得极值 $g(1)=1$. 求 $\frac{\partial^{2}z}{\partial x \partial y}|_{x=1,y=1}$.
继续阅读“2011年考研数二第17题解析：复合函数求偏导、一阶导与极值点的性质”设函数 $y=y(x)$ 由参数方程：
$$
\left\{\begin{matrix}
x = \frac{1}{3}t^{3} + t + \frac{1}{3},\\
y = \frac{1}{3}t^{3} – t + \frac{1}{3}
\end{matrix}\right.
$$
确定，求 $y=y(x)$ 的极值和曲线 $y=y(x)$ 的凹、凸区间及拐点。
继续阅读“2011年考研数二第16题解析：参数方程的求导、极值点、拐点、凹凸区间”已知函数
$$
F(x) = \frac{\int_{0}^{x} \ln (1+t^{2}) dt}{x^{a}}.
$$
设 $\lim_{x \rightarrow + \infty} F(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} F(x) = 0$, 试求 $a$ 的取值范围.
继续阅读“2011年考研数二第15题解析：无穷小与无穷大及各自的层级比较、洛必达法则”二次型 $f(x_{1}, x_{2}, x_{3})$ $=$ $x_{1}^{2}$ $+$ $3x_{2}^{2}$ $+$ $x_{3}^{2}$ $+$ $2x_{1}x_{2}$ $+$ $2x_{1}x_{3}$ $+$ $2x_{2}x_{3}$, 则 $f$ 的正惯性指数为__.
继续阅读“2011年考研数二第14题解析：二次型、特征值和正负惯性指数”设平面区域 $D$ 由直线 $y=x$, 圆 $x^{2} + y^{2} = 2y$ 及 $y$ 轴所围成，则二重积分 $\iint xy d \sigma = ?$
继续阅读“2011年考研数二真题第13题解析：二重积分的计算，三种解法”设函数
$$
f(x) = \left\{\begin{matrix}
\lambda e^{-\lambda x}, x > 0,\\0, x \leqslant 0.
\end{matrix}\right. (\lambda > 0)
$$
则 $\int_{- \infty}^{+\infty} xf(x) dx = ?$
继续阅读“2011年考研数二第12题解析”曲线 $y = \int_{0}^{x}\tan t d t(0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{4})$ 的弧长 $s = ?$
继续阅读“2011年考研数二第11题解析”设 $A=(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4})$ 是四阶矩阵，$A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵，若 $(1,0,1,0)^{\top}$ 是方程组 $AX=0$ 的一个基础解系，则 $A^{*} X = 0$ 的基础解系可为 $()$
$$
(A)\alpha_{1}, \alpha_{3}
$$
$$
(B)\alpha_{1}, \alpha_{2}
$$
$$
(C)\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}
$$
$$
(D)\alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}
$$
设 $A$ 为三阶矩阵，将 $A$ 的第 $2$ 列加到第 $1$ 列得矩阵 $B$, 再交换 $B$ 的第 $2$ 行与第 $3$ 行得单位矩阵. 记 $P_{1} = \begin{bmatrix}
1& 0& 0\\
1& 1& 0\\
0& 0& 1
\end{bmatrix}$, $P_{2} = \begin{bmatrix}
1& 0& 0\\
0& 0& 1\\
0& 1& 0
\end{bmatrix}$, 则 $A=()$.
$$
(A) P_{1}P_{2}
$$
$$
(B)P_{1}^{-1}P_{2}
$$
$$
(C)P_{2}P_{1}
$$
$$
(D )P_{2}P_{1}^{-1}
$$
设 $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln \sin x dx$, $J = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln \cot x dx$, $K = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln \cos x dx$, 则 $I, J, K$ 的大小关系为 $( )$.
$$
(A) I < J < K
$$
$$
(B) I < K < J
$$
$$
(C) J < I < K
$$
$$
(D) K < J < I
$$
