标签： 高等数学练习题

一、题目

已知，函数 $f(x)=\frac{{\mathrm{e}}^x-b}{(x-a)(x-b)}$ 有无穷间断点 $x=\mathrm{e}$, 可去间断点 $x=1$, 则 $(a,b)=?$

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继续阅读“这道题千万不能跟着感觉走：极值点要一个一个验证”

题目 01

已知，函数 $f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{\sin x(b\cos x-1)}{{\mathrm{e}}^x+a},& x>0,\\ \frac{\sin x}{\ln (1+3x)},& x<0\end{array}$ 在 $x=0$ 点极限存在, 则 $a,b$ 分别为多少？

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继续阅读“由已知“猜”未知：一点处极限存在，则该点左右两侧的极限相等”

一、题目

已知函数 $f(x)=\{\begin{array}{c}\frac{\ln (x-1)}{(x-1)(x-2)},x\in (1,2)\cup (2,+\mathrm{\infty })\\ 0,\end{array}$, 则 $f(x)$ 在其定义域的哪一部分是有界的？

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继续阅读“函数在其定义域端点处有界或无界其实就是在该点处有极限或者没极限的问题”

一、题目

已知 $\underset{x\to a}{lim}f(x)=A,\underset{x\to a}{lim}g(x)$ 不存在，$\underset{x\to a}{lim}h(x)$ 不存在，则以下命题中，正确的是哪个？

(A) $\underset{x\to a}{lim}(f(x)\cdot g(x))$ 不存在.

(B) $\underset{x\to a}{lim}(g(x)+h(x))$ 不存在.

(C) $\underset{x\to a}{lim}(h(x)\cdot g(x))$ 不存在.

(D) $\underset{x\to a}{lim}(g(x)+f(x))$ 不存在.

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继续阅读“极限存在的函数和极限不存在的函数放一块时极限是存在还是不存在呢：这几个特例很好用”

一、题目

$$I=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\{{[\sin (\frac{\pi }{4}+\frac{1}{n})]}^n+{[\sin (\frac{\pi }{2}+\frac{1}{n})]}^n\}=?$$

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继续阅读“这道三角函数极限题你能秒解吗”

一、题目

当 $n\to \mathrm{\infty }$ 时,数列 ${(1+\frac{1}{n})}^n-\mathrm{e}$ 是 $\frac{1}{n}$ 的等价无穷小吗？

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继续阅读“披着数列极限外衣的函数无穷小问题：但是不能直接用等价无穷小公式哦”

一、题目

设 $x\to a$ 时 $f(x)$ 与 $g(x)$ 分别是 $x-a$ 的 $n$ 阶与 $m$ 阶无穷小, 则下列命题：

$(1)$ $f(x)g(x)$ 是 $x-a$ 的 $n+m$ 阶无穷小.

$(2)$ 若 $n>m$, 则 $\frac{f(x)}{g(x)}$ 是 $x-a$ 的 $n-m$ 阶无穷小.

$(3)$ 若 $n⩽m$, 则 $f(x)+g(x)$ 是 $x-a$ 的 $n$ 阶无穷小.

$(4)$ 若 $f(x)$ 连续, 则 ${\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$ 是 $x-a$ 的 $n+1$ 阶无穷小.

$(5)$ 当 $n⩾2$ 时，$f^{\prime }(x)$ 是 $x–a$ 的 $n-1$ 阶无穷小.

中, 正确的是哪几个？

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继续阅读“乘、除、加、积分、求导对无穷小阶数的影响”

一、题目

当 $x\to 0$ 时，下列无穷小量中最高阶的是哪个？

A. $(1+x{)}^{x^2}-1$

B. $e^{x^4-2x}-1$

C. ${\int }_0^{x^2}\sin t^2\mathrm{d}t$

D. $\sqrt{1+2x}-\sqrt[3]{1+3x}$

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继续阅读“这有一道求解无穷小阶数的经典题目”

一、题目

已知 $f(x,y)=\{\begin{array}{cc}xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2},& (x,y)\ne (0,0),\\ 0,& (x,y)=(0,0),\end{array}$ 则：

$$f_{xy}^{\prime \prime }(0,0)=?$$

$$f_{yx}^{\prime \prime }(0,0)=?$$

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继续阅读“这个二元函数一点处的导数你会求解吗？”

一、题目

$$I={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{x{\mathrm{e}}^{-x}}{{(1+{\mathrm{e}}^{-x})}^2}\mathrm{d}x=?$$

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继续阅读“你能走出这个关于 $e^x$ 的迷宫吗？”

一、题目

下面四个命题哪个是错误的：

(1) 数列极限 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=a$ $\iff$ $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_{n+l}=a$. 其中 $l$ 为某个确定的正整数.

(2) 数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛 (即存在极限 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n$ ), 则 $x_n$ 有界.

(3) 数列极限 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n$ 存在 $\iff$ $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x_{n+1}}{x_n}=1$.

(4) 数列 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=a$ $\iff$ $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_{2n-1}$ $=$ $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_{2n}=a$.

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继续阅读“你能看出来下面关于数列极限的四个命题哪个是错误的吗？”

一、前言

你知道对于数列 $x_n$ 而言，$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x_{n+1}}{x_n}$ 蕴含着多少知识吗？

继续往下看，会让你对数列极限的理解更上一层楼。

继续阅读“关于数列极限比值的那些事”

一、题目

$$I={\int }_0^1{x}^4\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\mathrm{d}x=?$$

难度评级：

继续阅读“有根号有平方：三角代换用起来！”

一、题目

$$I={\int }_0^1\frac{x}{\sqrt{x(1-x)}}\mathrm{d}x=?$$

难度评级：

继续阅读“配方法和代换法：你会用哪种方法做这道题？”

一、题目

已知 $f(x)$ 一阶可导, $f(x)>0$, $f^{\prime }(x)>0$, 则当 $\mathrm{\Delta }x>0$ 时，${\int }_x^{x+\mathrm{\Delta }x}f(t)\mathrm{d}t$, $f(x)\mathrm{\Delta }x$ 和 $0$ 的大小关系如何？

难度评级：

继续阅读“这个不等式反映了积分的本质原理”