标签： 高等数学练习题

一、题目

由相交于三点 $\left(x_{1}, y_{1}\right)\left(x_{2}, y_{2}\right)\left(x_{3}, y_{3}\right)$ (其中 $\left.x_{1} < x_{2} < x_{3}\right)$ 的两曲线 $y=f(x) > $ $0, y=g(x) > 0$ 所围成的图形绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体体积为：

(A) $\int_{x_{1}}^{x_{3}} \pi[f(x)-g(x)]^{2} \mathrm{~d} x$
(B) $\int_{x_{1}}^{x_{3}} \pi\left[f^{2}(x)-g^{2}(x)\right] \mathrm{d} x$
(C) $\int_{x_{1}}^{x_{3}} \pi\left|f^{2}(x)-g^{2}(x)\right| \mathrm{d} x$
(D) $\left|\int_{x_{1}}^{x_{3}} \pi\left[f^{2}(x)-g^{2}(x)\right] \mathrm{d} x\right|$

难度评级：

继续阅读“两条不同的曲线旋转形成的共有旋转体的体积怎么表示？”

一、题目

已知，无穷长直线 $L$ 的线密度为 $1$, 引力常数为 $k$, 则 $L$ 对距直线为 $a$ 的单位质点 $A$ 的引力是多少？

难度评级：

继续阅读“如果物理应用题没有配图，一定要注意判断自己画的图是否符合题意”

一、题目

已知，有曲线 $y=\sqrt{x-1}$, 过原点作其切线, 则以曲线、切线及 $x$ 轴所围成平面图形绕 $x$轴旋转一圈所得到的表面积是多少？

难度评级：

继续阅读“绘制完成的示意图一定要用阴影线重点标注出来”

一、题目

已知，星形线方程为：

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=a \cos ^{3} t \\
y=a \sin ^{3} t
\end{array}\right.
$$

则它所围成的面积 $A=?$, 它的弧长 $L=?$, 它绕 $X$ 轴旋转而生成的旋转体体积 $V=?$, 该旋转体的侧面积 $S=?$

难度评级：

继续阅读“旋转体知识点综合题：弧长、体积、侧面积”

一、题目

摆线 $x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t)(0 \leqslant t \leqslant 2 \pi)$ 与 $x$ 轴围成图形绕 $y=2 a$ 旋转一周而得旋转体的体积 $V=?$

难度评级：

继续阅读“旋转体的转轴不是 X 轴或者 Y 轴怎么办？先取反再平移”

一、题目

设 $x \in(0,1)$, 证明: $(1+x) \ln ^{2}(1+x)<x^{2}$.

难度评级：

继续阅读“考研数学比较大小题目的解题思路：构造函数求极值”

一、题目

已知, 曲线 $y=x^{2}(0 \leqslant x \leqslant 1)$ 上取一点 $\left(t, t^{2}\right)(0<t<1)$, 设 $A_{1}$ 是曲线 $y=x^{2}(0 \leqslant$ $x \leqslant 1)$, 直线 $y=t^{2}$ 和 $x=0$ 围成的面积; $A_{2}$ 是由曲线 $y=x^{2}(0 \leqslant x \leqslant 1)$, 直线 $y=t^{2}$ 和 $x=1$ 围成的面积, 则 $t$ 取 时 $A=A_{1}+A_{2}$ 取最小值.

难度评级：

继续阅读“求最小或者最大面积的解题思路：构造函数表达式，求极值并确定是极大值还是极小值”

一、题目

已知，$f(x)=\max \left\{1, x^{2}\right\}$, 则 $\int_{1}^{x} f(t) \mathrm{d} t=?$

难度评级：

继续阅读“分段函数的积分分段求，但积分时分的“段”和分段函数的“段”可能不一样——积分怎么分段，还要看积分上下限”

一、题目

已知，$f(x)$ 是定义于 $x \geqslant 1$ 的正值连续函数，则 $F(x)$ $=$ $\int_{1}^{x}\left[\left(\frac{2}{x}+\ln x\right)-\left(\frac{2}{t}+\ln t\right)\right] f(t) \mathrm{d} t$ $(x \geqslant 1)$ 的极小值点是 $x=?$

难度评级：

继续阅读“极值点的一阶导等于零，但一阶导等于零的点不一定是极值点”

一、题目

已知，$f(x)$ 为连续函数，$\varphi$ 为常数，$\int_{0}^{2 \pi} f[\sin (x+\varphi)] \mathrm{d} x=A \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \mathrm{d} x$, 则 $A=?$

难度评级：

继续阅读“周期函数的积分与积分位置无关：只与积分区间的宽度有关”

一、题目

$$
I = \int_{0}^{1}\left[\sqrt{2 x-x^{2}}-\sqrt{\left(1-x^{2}\right)^{3}}\right] \mathrm{~ d} x=?
$$

难度评级：

继续阅读“遇到两个根号式子相加减的定积分一般拆开来分别计算”

一、题目

求解曲线 $y=\sqrt{4 x^{2}+x} \ln \left(2+\frac{1}{x}\right)$ 的全部渐近线。

难度评级：

继续阅读“要找渐近线先找间断点”

一、题目

已知，函数 $f(x)=\left|4 x^{3}-18 x^{2}+27\right|$ 在 $[0,2]$ 上的最小值等于多少？最大值等于多少？

难度评级：

继续阅读“计算函数的最大值或最小值的时候一般都要结合函数图像辅助求解”

一、题目

已知，$(1,3)$ 是曲线 $y=x^{3}+a x^{2}+b x+14$ 的拐点，则 $a=?$, $b=?$

难度评级：

继续阅读“一定要分清拐点和极值点：极值点是一阶导等于零的点，拐点是二阶导等于零的点”

一、题目

已知当 $x \rightarrow 0$ 时 $F(x)=\int_{0}^{x-\sin x} \ln (1+t) \mathrm{d} t$ 是 $x^{n}$ 的同阶无穷小，则 $n=?$

难度评级：

继续阅读“这里有一个记忆等价无穷小公式的小技巧”