高等数学练习题 – 第 19 页 – 荒原之梦

什么情况下牛顿-莱布尼兹公式（定积分）不起作用？

一、题目

下面四个式子的解法都是错误的，请分析错误的原因并给出正确的解法：

(1) $\int_{0}^{\pi} \sqrt{\sin ^{3} x-\sin ^{5} x} \mathrm{~d} x$ $=$ $\int_{0}^{\pi} \sin ^{\frac{3}{2}} x \cos x \mathrm{~d} x=\left.\frac{2}{5} \sin ^{\frac{5}{2}} x\right|_{0} ^{\pi}=0$

(2) $\int_{-1}^{1} \frac{\mathrm{d} x}{x}$ $=$ $\left.\ln |x|\right|_{-1} ^{1}=0$

(3) $\int_{0}^{\pi} \frac{\sec ^{2} x}{2+\tan ^{2} x} \mathrm{~d} x$ $=$ $\left.\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right|_{0} ^{\pi}=0$

(4) $\int_{-1}^{1} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\arctan \frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x$ $=$ $\left.\arctan \frac{1}{x}\right|_{-1} ^{1}=\frac{\pi}{2}$

难度评级：

借助函数的单调性或者函数图像判断定积分的大小

一、题目

已知 $I_{1}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x$, $I_{2}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x}{\sin x} \mathrm{~d} x$, 则 $I_{1}$ $I_{2}$ 和 $1$ 的大小关系如何？

难度评级：

定积分比较大小：找到“基点”很重要

一、题目

请比较 $M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(1+x)^{2}}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$, $N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+x}{\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x$, $K=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1+\sqrt{\cos x}) \mathrm{d} x$ 的大小。

难度评级：

“任意”和“某个”含义大不一样

一、题目

已知 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则下列结论中正确的是哪个或者哪些？

(1) $f(x)$ 在 $[a, b]$ 的任意子区间 $[\alpha, \beta]$ 上 $\int_{a}^{\beta} f(x) \mathrm{d} x=0$, 则 $f(x)=0(\forall x \in[a, b])$.

(2) $f(x) \geqslant 0(x \in[a, b])$, 又 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0$, 则 $f(x)=0(x \in[a, b])$.

(3) $[\alpha, \beta] \subset[a, b]$, 则 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \geqslant \int_{a}^{\beta} f(x) \mathrm{d} x$

难度评级：

判断函数是否可积的若干特例/反例

一、题目

下列命题中，正确的是哪个？

(A) 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可积, $f(x) \geqslant 0, \not \equiv 0$, 则 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x>0$.

(B) 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可积, $g(x)$ 在 $[a, b]$ 不可积,则 $f(x)+g(x)$ 在 $[a, b]$ 不可积.

(C) 设 $f^{2}(x)$ 在 $[a, b]$ 可积,则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可积.

(D) 设 $x_{0} \in(a, b), f(x)$ 在 $[a, b] / \{x_{0}\}$ 连续且有界, $x=x_{0}$ 是 $f(x)$ 的间断点, 则 $F(x)=$ $\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 在 $x=x_{0}$ 不可导.

难度评级：

无界函数没有定积分

一、题目

下列函数在指定区间上不存在定积分的是哪一个？

(A) $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\sin \frac{1}{x}, & x \neq 0, \\ 1, & x=0,\end{array}\right.$ $\quad x \in [-1, 1]$

(B) $f(x)=\operatorname{sgn} x=\left\{\begin{array}{cl}1, & x>0, \\ 0, & x=0,\\ -1, & x<0,\end{array}\right.$ $\quad x \in[a, b]$

(C) $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{\sin x}{x}, & x \neq 0, \\ 1, & x=0,\end{array}\right.$ $\quad x \in[-1,1]$

(D) $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\tan x, & x \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right), \\ 0, & x= \pm \frac{\pi}{2},\end{array}\right.$ $\quad x \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$.

难度评级：

平方和绝对值都具有“弥合”的效果

一、题目

下列说法中正确的是哪个或者哪些？

(1) 设 $f^{2}(x)$ 在 $x=x_{0}$ 连续, 则 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 连续.
(2) 设 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 连续,则 $|f(x)|$ 在 $x=x_{0}$ 连续.
(3) 设 $|f(x)|$ 在 $[a, b]$ 可积,则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可积.
(4) 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 有界, 只有有限个间断点, 则 $|f(x)|$ 在 $[a, b]$ 可积, 即在 $[a, b]$ 存在定积分.

难度评级：

式子复杂不要怕：考试题目都是精心设计好的，复杂的部分基本都能消去

一、题目

函数 $f(x)=3 \arccos x-\arccos \left(3 x-4 x^{3}\right)$ 在 $\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$ 上的单调性是怎样的？

难度评级：

有垂直渐近线的一侧可能还有水平或者倾斜渐近线

一、题目

曲线 $y=\frac{x^{2}+1}{\sqrt{x^{2}-1}}$ 有几种渐近线？

难度评级：

凸函数的一阶导函数值单调减少，凹函数的一阶导函数值单调增加

一、题目

已知 $f(x)$ 在 $(1-\delta, 1+\delta)$ 内存在导数，$f^{\prime}(x)$ 单调减少，$f(1)=f^{\prime}(1)=1$, 则下列说法正确的是哪个？

(A) 在 $(1-\delta, 1)$ 内有 $f(x)x$.
(B) 在 $(1-\delta, 1)$ 内有 $f(x)>x$, 在 $(1,1+\delta)$ 内有 $f(x)x$.

难度评级：

二阶导正负发生改变的点一定是拐点

一、题目

已知，曲线 $y=\sqrt[3]{x-4}$, 则下列说法正确的是：

(A) 曲线的凸区间为 $(-\infty, 4)$, 凹区间为 $(4,+\infty)$, 无拐点.
(B) 曲线的凹区间为 $(-\infty, 4)$, 凸区间为 $(4,+\infty)$, 无拐点.
(C) 曲线的凸区间为 $(-\infty, 4)$, 凹区间为 $(4,+\infty)$, 拐点为 $(4,0)$.
(D) 曲线的凹区间为 $(-\infty, 4)$, 凸区间为 $(4,+\infty)$, 拐点为 $(4,0)$.

难度评级：

通过二阶导函数和一阶导函数的函数图像判断原函数拐点的个数

总结：拐点本质上是二阶导的正负性发生改变的点，这个点可能是二阶导等于零的点，也可能是二阶导不存在的点。

在有界区间上，原函数有界导函数不一定有界，导函数有界原函数一定有界——在无界区间上，一阶导函数有界原函数也可能无界

题目 01

以下命题中正确的是哪个？

(A) 若 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 内连续, 则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界.
(B) 若 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内连续, 则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界.
(C) 若 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界, 则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界.
(D) 若 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界, 则 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界.

难度评级：

曲率半径是曲率的倒数

一、题目

曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t), \\ y=a(1-\cos t),\end{array}\right.$ $(a > 0)$ 在参数 $t = \frac{\pi}{2}$ 对应点处的曲率 $k = ?$

难度评级：

函数单调增加（没说“严格单调增加”）则一阶导大于等于零而不是仅仅大于零

一、题目

已知，函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上有定义, 则下述命题中正确的是哪个？

(A) 若 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0, f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=0, f^{\prime \prime \prime}\left(x_{0}\right) \neq 0$, 则 $x_{0}$ 一定不是 $f(x)$ 的极值点.
(B) 若 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处取得极值, 则 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$.
(C) 若 $f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=0$, 则 $\left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点坐标.
(D) 若 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上可导且单调增加, 则对一切 $x \in(-\infty,+\infty)$, 都有 $f^{\prime}(x)>0$.

难度评级：

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