二阶导正负发生改变的点一定是拐点

一、题目

已知，曲线 $y=\sqrt[3]{x-4}$, 则下列说法正确的是：

(A) 曲线的凸区间为 $(-\infty, 4)$, 凹区间为 $(4,+\infty)$, 无拐点.
(B) 曲线的凹区间为 $(-\infty, 4)$, 凸区间为 $(4,+\infty)$, 无拐点.
(C) 曲线的凸区间为 $(-\infty, 4)$, 凹区间为 $(4,+\infty)$, 拐点为 $(4,0)$.
(D) 曲线的凹区间为 $(-\infty, 4)$, 凸区间为 $(4,+\infty)$, 拐点为 $(4,0)$.

难度评级：

二、解析

由题知：

$$
y = (x – 4)^{\frac{1}{3}} \Rightarrow
$$

$$
y^{\prime} = \frac{1}{3} (x – 4) ^{\frac{-2}{3}} \Rightarrow
$$

$$
y^{\prime \prime} = \frac{-2}{9} (x – 4)^{\frac{-5}{3}}
$$

于是：

① 当 $x < 4$ 时，$y^{\prime \prime} > 0$

② 当 $x > 4$ 时，$y^{\prime \prime} < 0$

③ 当 $x = 4$ 时，$y^{\prime \prime} = 0$

综上，D 选项正确。

---