标签： 高等数学基础

一、题目

已知 $a$ 为常数，计算如下定积分：

$$
\int \frac{1}{a^{2} + x^{2}} \mathrm{d} x
$$

继续阅读“如何计算不定积分 $\int$ $\frac{1}{a^{2} + x^{2}}$ $\mathrm{d} x$”

问题

已知，有一阶常系数非齐次线性差分方程：
$y_{t+1}$ $+$ $a$ $y_{t}$ $=$ $f(t)$.

其中，非齐次项 $f(t)$ $=$ $f(t)$ $=$ $d^{t}$ $\cdot$ $P_{m}(t)$, 其中，$d$ 为非零常数，$P_{m}(t)$ $=$ $b_{0}$ $+$ $b_{1}$ $t$ $+$ $\cdots$ $+$ $b_{m}$ $t^{m}$

且：$a$ $+$ $d$ $\neq$ $0$.

则，试取特解的形式 $y_{t}^{*}$ $=$ $?$

选项

[A].   $y_{t}^{*}$ $=$ $t$ $\cdot$ $Q_{m}(t)$

[B].   $y_{t}^{*}$ $=$ $\frac{1}{t}$ $\cdot$ $d^{t}$ $\cdot$ $Q_{m}(t)$

[C].   $y_{t}^{*}$ $=$ $d^{t}$ $\cdot$ $Q_{m}(t)$

[D].   $y_{t}^{*}$ $=$ $t$ $\cdot$ $d^{t}$ $\cdot$ $Q_{m}(t)$

   答 案   

$y_{t}^{*}$ $=$ $t$ $\cdot$ $d^{t}$ $\cdot$ $Q_{m}(t)$

其中，$Q_{m}(t)$ $=$ $B_{0}$ $+$ $B_{1}$ $t$ $+$ $\cdots$ $+$ $B_{m}$ $t^{m}$, 其中 $B_{0}$, $B_{1}$, $\cdots$, $B_{m}$ 为待定常数.

问题

已知，有一阶常系数非齐次线性差分方程：
$y_{t+1}$ $+$ $a$ $y_{t}$ $=$ $f(t)$.

其中，非齐次项 $f(t)$ $=$ $f(t)$ $=$ $d^{t}$ $\cdot$ $P_{m}(t)$, 其中，$d$ 为非零常数，$P_{m}(t)$ $=$ $b_{0}$ $+$ $b_{1}$ $t$ $+$ $\cdots$ $+$ $b_{m}$ $t^{m}$

且：$a$ $+$ $d$ $\neq$ $0$.

则，试取特解的形式 $y_{t}^{*}$ $=$ $?$

选项

[A].   $y_{t}^{*}$ $=$ $\frac{1}{t}$ $\cdot$ $Q_{m}(t)$

[B].   $y_{t}^{*}$ $=$ $t$ $\cdot$ $Q_{m}(t)$

[C].   $y_{t}^{*}$ $=$ $d^{t}$ $\cdot$ $Q_{m}(t)$

[D].   $y_{t}^{*}$ $=$ $Q_{m}(t)$

   答 案   

$y_{t}^{*}$ $=$ $d^{t}$ $\cdot$ $Q_{m}(t)$

其中，$Q_{m}(t)$ $=$ $B_{0}$ $+$ $B_{1}$ $t$ $+$ $\cdots$ $+$ $B_{m}$ $t^{m}$, 其中 $B_{0}$, $B_{1}$, $\cdots$, $B_{m}$ 为待定常数.

问题

已知，有一阶常系数非齐次线性差分方程：
$y_{t+1}$ $+$ $a$ $y_{t}$ $=$ $f(t)$.

其中，非齐次项 $f(t)$ $=$ $P_{m}(t)$ $=$ $b_{0}$ $+$ $b_{1}$ $t$ $+$ $\cdots$ $+$ $b_{m}$ $t^{m}$

且：$a$ $=$ $-1$.

则，试取特解的形式 $y_{t}^{*}$ $=$ $?$

选项

[A].   $y_{t}^{*}$ $=$ $t$ $Q_{m}(t)$

[B].   $y_{t}^{*}$ $=$ $t$

[C].   $y_{t}^{*}$ $=$ $\frac{1}{t}$ $Q_{m}(t)$

[D].   $y_{t}^{*}$ $=$ $Q_{m}(t)$

   答 案   

$y_{t}^{*}$ $=$ $t$ $Q_{m}(t)$

其中，$Q_{m}(t)$ $=$ $B_{0}$ $+$ $B_{1}$ $t$ $+$ $\cdots$ $+$ $B_{m}$ $t^{m}$, 其中 $B_{0}$, $B_{1}$, $\cdots$, $B_{m}$ 为待定常数.

问题

已知，有一阶常系数非齐次线性差分方程：
$y_{t+1}$ $+$ $a$ $y_{t}$ $=$ $f(t)$.

其中，非齐次项 $f(t)$ $=$ $P_{m}(t)$ $=$ $b_{0}$ $+$ $b_{1}$ $t$ $+$ $\cdots$ $+$ $b_{m}$ $t^{m}$

且：$a$ $\neq$ $-1$.

则，试取特解的形式 $y_{t}^{*}$ $=$ $?$

选项

[A].   $y_{t}^{*}$ $=$ $Q_{m}(t)$ $=$ $B_{0}$ $t$ $+$ $B_{1}$ $t^{2}$ $t$ $+$ $\cdots$ $+$ $B_{m}$ $t^{m+1}$

[B].   $y_{t}^{*}$ $=$ $Q_{m}(t)$ $=$ $B_{0}$ $+$ $B_{1}$ $+$ $\cdots$ $+$ $B_{m}$

[C].   $y_{t}^{*}$ $=$ $Q_{m}(t)$ $=$ $B_{1}$ $t$ $+$ $\cdots$ $+$ $B_{m}$ $t^{m}$

[D].   $y_{t}^{*}$ $=$ $Q_{m}(t)$ $=$ $B_{0}$ $+$ $B_{1}$ $t$ $+$ $\cdots$ $+$ $B_{m}$ $t^{m}$

   答 案   

$y_{t}^{*}$ $=$ $Q_{m}(t)$ $=$ $B_{0}$ $+$ $B_{1}$ $t$ $+$ $\cdots$ $+$ $B_{m}$ $t^{m}$, 其中 $B_{0}$, $B_{1}$, $\cdots$, $B_{m}$ 为待定常数.

问题

已知，$C$ 为任意常数，则以下哪个是齐次差分方程通解的形式？

选项

[A].   $y_{C}(t)$ $=$ $C$ $\cdot$ $(-a)^{t}$

[B].   $y_{C}(t)$ $=$ $(-a)^{t}$ $+$ $C$

[C].   $y_{C}(t)$ $=$ $C$ $\cdot$ $(a)^{t+1}$

[D].   $y_{C}(t)$ $=$ $C$ $\cdot$ $(a)^{t}$

   答 案   

$y_{C}(t)$ $=$ $C$ $\cdot$ $(-a)^{t}$

问题

已知，$f(t)$ $\neq$ $0$, $a$ 为非零常数，则，以下哪个选项是一阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式？

选项

[A].   $y_{t+1}$ $-$ $a$ $y_{t}$ $=$ $f(t)$

[B].   $a$ $y_{t+1}$ $+$ $a$ $y_{t}$ $=$ $f(t)$

[C].   $y_{t+1}$ $+$ $a$ $y_{t}$ $=$ $0$

[D].   $y_{t+1}$ $+$ $a$ $y_{t}$ $=$ $f(t)$

   答 案   

$y_{t+1}$ $+$ $a$ $y_{t}$ $=$ $f(t)$

问题

已知：

$\overline{y_{t}}$ 与 $\widetilde{y_{t}}$ 分别是差分方程 $y_{t+1}$ $+$ $a$ $y_{t}$ $=$ $f_{1}(t)$ 和 $y_{t+1}$ $+$ $a$ $y_{t}$ $=$ $f_{2}(t)$ 的解。

则，以下哪个选项是差分方程 $y_{t+1}$ $+$ $a$ $y_{t}$ $=$ $f_{1}(t)$ $+$ $f_{2}(t)$ 的解？

选项

[A].   $\overline{y_{t}}$ $\times$ $\widetilde{y_{t}}$

[B].   $$

[C].   $\overline{y_{t}}$ $-$ $\widetilde{y_{t}}$

[D].   $\frac{\overline{y_{t}}}{\widetilde{y_{t}}}$

   答 案   

$\overline{y_{t}}$ $+$ $\widetilde{y_{t}}$

问题

已知：

$y^{*}$ 是非齐次差分方程的一个特解；$y_{C}(t)$ 是相应齐次差分方程的通解。

则，相应的非齐次差分方程的通解为：$y_{t}$ $=$ $?$

选项

[A].   $y_{t}$ $=$ $\frac{y_{C}(t)}{y_{t}^{*}}$

[B].   $y_{t}$ $=$ $y_{C}(t)$ $\times$ $y_{t}^{*}$

[C].   $y_{t}$ $=$ $y_{C}(t)$ $-$ $y_{t}^{*}$

[D].   $y_{t}$ $=$ $y_{C}(t)$ $+$ $y_{t}^{*}$

   答 案   

$y_{t}$ $=$ $y_{C}(t)$ $+$ $y_{t}^{*}$

问题

已知，$a$ 为非零常数，则以下哪个选项可以被称为一阶常系数齐次线性差分方程？

选项

[A].   $y_{t+1}$ $+$ $y_{t}$ $=$ $a$

[B].   $y_{t+1}$ $+$ $a$ $y_{t}$ $=$ $1$

[C].   $y_{t+1}$ $+$ $a$ $y_{t}$ $=$ $0$

[D].   $y_{t+1}$ $\times$ $a$ $y_{t}$ $=$ $0$

   答 案   

$y_{t+1}$ $+$ $a$ $y_{t}$ $=$ $0$