2017年考研数二第20题解析:二重积分、二重积分的化简、直角坐标系转极坐标系

题目

已知平面区域 $D =$ ${(x, y)|x^{2} + y^{2} \leqslant 2y }$, 计算二重积分 $\iint_{D} (x + 1)^{2} \mathrm{d} x \mathrm{d} y$.

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2017年考研数二第19题解析:极限、导数、罗尔定理

题目

设函数 $f(x)$ 在区间 $[0, 1]$ 上具有二阶导数,且 $f(1) > 0$, $\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{x} < 0$. 证明:

$(Ⅰ)$ 方程 $f(x) = 0$ 在区间 $(0, 1)$ 内至少存在一个实根;

$(Ⅱ)$ 方程 $f(x) f^{”}(x) +$ $[f^{‘}(x)]^{2} = 0$ 在区间 $(0, 1)$ 内至少存在两个不同实根.

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2017年考研数二第16题解析:二阶偏导数、复合函数求导

题目

设函数 $f(u,v)$ 具有二阶连续偏导数,$y =$ $f(e^{x}, \cos x)$, 求 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}|_{x = 0}$, $\frac{\mathrm{d} ^{2} y}{\mathrm{d} x^{2}}|_{x = 0}$.

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2016年考研数二第23题解析:相似对角化、特征值、特征向量、线性表示

题目

编号:A2016223

已知矩阵 $A = \begin{bmatrix}
0 & -1 & 1\\
2 & -3 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}$.

$(Ⅰ)$ 求 $A^{99}$;

$(Ⅱ)$ 设 $3$ 阶矩阵 $B=(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3})$ 满足 $B^{2} = BA$. 记 $B^{100} = (\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3})$, 将 $\beta_{1}$, $\beta_{2}$, $\beta_{3}$ 分别表示为 $\alpha_{1}$, $\alpha_{2}$, $\alpha_{3}$ 的线性组合.

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2016年考研数二第21题解析:积分、变限积分、二重积分、零点

题目

编号:A2016221

已知函数 $f(x)$ 在 $[0, \frac{3 \pi}{2}]$ 上连续,在 $(0, \frac{3 \pi}{2})$ 内是函数 $\frac{\cos x}{2x – 3 \pi}$ 的一个原函数,且 $f(0) = 0$.

$(Ⅰ)$ 求 $f(x)$ 在区间 $[0, \frac{3 \pi}{2}]$ 上的平均值;

$(Ⅱ)$ 证明 $f(x)$ 在区间 $(0, \frac{3 \pi}{2})$ 内存在唯一零点.

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2016年考研数二第20题解析:旋转体的体积和表面积、参数方程、一重定积分

题目

编号:A2016220

设 $D$ 是由曲线 $y=\sqrt{1-x^{2}}$ $(0 \leqslant x \leqslant 1)$ 与 $\left\{\begin{matrix}
x= \cos ^{3} t;\\
y = \sin ^{3} t.
\end{matrix}\right.$ $(0 \leqslant t \leqslant \frac{\pi}{2})$ 围成的平面区域,求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积。

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2016年考研数二第19题解析:微分方程的降阶、一阶线性微分方程求解

题目

编号:A2016219

已知 $y_{1}(x) = e^{x}$, $y_{2}(x) = u(x) e^{x}$ 是二阶微分方程:

$$
(2x – 1) y^{”} – (2x + 1) y^{‘} + 2y = 0
$$

的两个解. 若 $u(-1) = e$, $u(0) = -1$, 求 $u(x)$, 并写出该微分方程的通解.

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2016年考研数二第18题解析:二重积分、二重积分的化简、极坐标系下二重积分的计算

题目

编号:A2016218

设 $D$ 是由直线 $y = 1$, $y = x$, $y = – x$ 围成的有界区域,计算二重积分:

$$
\iint_{D} \frac{x^{2} – xy – y^{2}}{x^{2} + y^{2}}.
$$

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2015年考研数二第23题解析:相似矩阵、矩阵的相似对角化

题目

设矩阵 $A=\begin{bmatrix}
0 & 2 & -3\\
-1 & 3 & -3\\
1 & -2 & a
\end{bmatrix}$ 相似于矩阵 $B=\begin{bmatrix}
1 & -2 & 0\\
0 & b & 0\\
0 & 3 & 1
\end{bmatrix}$.

$(Ⅰ)$ 求 $a$, $b$ 的值;

$(Ⅱ)$ 求可逆矩阵 $P$, 使 $P^{-1} A P$ 为对角矩阵.

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