一、题目
$$
K_{m} = \int_{0}^{\pi} x \sin ^{m} x \mathrm{~d} x = ?
$$
其中，$m$ 为自然数。
难度评级：
继续阅读“升级版的点火公式”标签： 考研数学一
对式子的等价转换除了有先加后减，还有先开方再平方
一、题目
$$
I = \int_{2}^{+ \infty} \frac{1}{x \sqrt{x-1}} \mathrm{~d} x = ?
$$
难度评级：
继续阅读“对式子的等价转换除了有先加后减，还有先开方再平方”关于 $\mathbf{r} (\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathbf{r} (\boldsymbol{E}$ $-$ $\boldsymbol{A})$ $\geqslant$ $\mathbf{r} (\boldsymbol{E})$ 的一个简单证明
一、前言 
在考研数学的线性代数科目中，我们有时候会遇到要使用下面这个公式的题目：
$$
\mathbf{r} (\boldsymbol{A}) + \mathbf{r} (\boldsymbol{E} – \boldsymbol{A}) \geqslant \mathbf{r} (\boldsymbol{E})
$$
事实上，往年的考研数学真题中也曾出现过要用该性质的题目。但是，同学们在使用这个性质的时候，可能会对上面这个不等式为什么成立产生疑问，在文本中，「荒原之梦考研数学」就给出一种简单的证明方式，帮助同学们解除疑惑。
继续阅读“关于 $\mathbf{r} (\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathbf{r} (\boldsymbol{E}$ $-$ $\boldsymbol{A})$ $\geqslant$ $\mathbf{r} (\boldsymbol{E})$ 的一个简单证明”如何表示最后两位都是 $1$ 的任意一个数字？
用归纳法求函数的 $n$ 阶导数（附 $\sin$ 与 $\cos$ 的 $n$ 阶导公式）
一、题目
求下面函数的 $n$ 阶导数：
$$
\begin{aligned}
y_{1} & = \sin x \\
y_{2} & = \cos x \\
y_{3} & = \frac{1}{x + 1} \\
y_{4} & = \frac{-1}{x}
\end{aligned}
$$
难度评级：
继续阅读“用归纳法求函数的 $n$ 阶导数（附 $\sin$ 与 $\cos$ 的 $n$ 阶导公式）”被积函数有 4 次幂的时候，先尝试凑 2 次幂
三元函数全微分的计算：比二元多一元
一、题目
已知 $f(x,y,z)$ $=$ $\left( \frac{x}{y} \right)^{\frac{1}{z}}$, 则：
$$
\mathrm{d} f(1,1,1) = ?
$$
难度评级：
继续阅读“三元函数全微分的计算：比二元多一元”二阶偏导数求导对比：两个变量的三元函数和三个变量的二元函数
题目一：两个变量的三元函数
已知函数 $u$ $=$ $f \left( x + y , x y , \frac { x } { y } \right)$, 求 $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2} }$, $\frac { \partial^{2} u }{ \partial x \partial y }$, $\frac{ \partial^{2} u }{\partial y^{2}}$.
其中，$f$ 具有二阶连续偏导数。
难度评级：
继续阅读“二阶偏导数求导对比：两个变量的三元函数和三个变量的二元函数”在无穷大条件下，幂指函数的“幂”增减一个常数不会影响最终的结果
一、题目
$$
\begin{aligned}
I_{1} = & \ \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x+2}{x + 1} \right)^{2x + \textcolor{orangered}{2}} = ? \\ \\
I_{2} = & \ \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x+2}{x+1} \right)^{2x + \textcolor{orangered}{1}} = ?
\end{aligned}
$$
难度评级：
继续阅读“在无穷大条件下，幂指函数的“幂”增减一个常数不会影响最终的结果”拨开云雾，直抵核心：不要被这个积分中的三个 “$\ln$” 函数迷惑了
一、题目
$$
I = \int \frac{1}{x \ln x \ln \ln x} \mathrm{~d} x = ?
$$
难度评级：
继续阅读“拨开云雾，直抵核心：不要被这个积分中的三个 “$\ln$” 函数迷惑了”用定积分的定义证明两个定积分的常用性质
一、题目
请证明下面的定积分的性质：
$$
\begin{aligned}
\int_{a}^{b} 1 \mathrm{~d} x = & \ b – a \\
\int_{a}^{b} k f(x) \mathrm{~d} x = & \ k \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{~d} x
\end{aligned}
$$
难度评级：
继续阅读“用定积分的定义证明两个定积分的常用性质”事件的对立操作将使得事件的从属关系发生逆转
一、题目
设 $A$ 和 $B$ 是任意两个随机事件，则与 $\boldsymbol{A} \cup \boldsymbol{B}$ $=$ $\boldsymbol{B}$ 不等价的是是哪一项？
[A]. $\bar{\boldsymbol{B}}$ $\subset$ $\bar{\boldsymbol{A}}$
[B]. $\boldsymbol{A}$ $\subset$ $\boldsymbol{B}$
[C]. $\bar{\boldsymbol{A}} \boldsymbol{B}$ $=$ $\varnothing$
[D]. $\boldsymbol{A} \bar{\boldsymbol{B}}$ $=$ $\varnothing$
难度评级：
继续阅读“事件的对立操作将使得事件的从属关系发生逆转”利用定积分的定义计算两个简单的定积分
一、题目
定积分的定义是考研数学中经常考察的一个内容。但是，在真正的考试题中，我们能遇到的要使用定积分的定义求解的题目，一般是不能用一般的积分公式计算的，这样的题目不利于我们从更多的角度把握用定积分的定义解题这一方法的全貌。
所以，在本文中，「荒原之梦考研数学」将利用定积分的定义，给同学们演示对下面这两个比较简单的定积分进行求解的过程：
$$
\begin{aligned}
I_{1} = & \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x \\ \\
I_{2} = & \int_{1}^{2} \frac{1}{x} \mathrm{~d} x
\end{aligned}
$$
难度评级：
继续阅读“利用定积分的定义计算两个简单的定积分”求和符号中的 $i$ 和 $n$ 有啥区别？
一、前言
求和符号是我们在考研数学中很常见到的一个符号，常见的求和符号写法如下：
$$
\sum_{i=1}^{n=16}
$$
或者：
$$
\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n}
$$
那么，我们应该怎么理解上面这个求和符号呢？以及该怎么让求和符合参与到具体的计算中呢？
在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们讲解一下这个问题。
继续阅读“求和符号中的 $i$ 和 $n$ 有啥区别？”用定积分的定义求解时怎么进行积分区间的分割？
一、前言
在考研数学中，用定积分的定义求解某些定积分或者数列的值，是一种很常见的考题。
假如我们要用定积分的定义求解区间 $[a, b]$ 上的积分值，我们应该以什么样的方式划分 $[a, b]$ 这个区间呢？
在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们讲一讲上面这个问题。
继续阅读“用定积分的定义求解时怎么进行积分区间的分割？”