为什么样本值减去样本均值后求和等于零?

一、前言 前言 - 荒原之梦

在本文中,「荒原之梦考研数学」将使用传统方法和“峰式”画图的方法证明概率论中下面这个公式:

$$
\sum_{i=1}^{n} (\xi_{i} – \bar{\xi}) = \sum_{i=1}^{n} \xi_{i} – n \bar{\xi} = 0
$$

其中,$\bar{\xi}$ 为样本 $\left( \xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3} \cdots, \xi_{n} \right)$ 的均值。

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基于条件概率详解全概率公式的证明

一、前言 前言 - 荒原之梦

在另一篇文章中,「荒原之梦考研数学」通过图解的方式证明了全概率公式,在本文中,「荒原之梦考研数学」将使用传统的证明方法实现对全概率公式的证明:

$$
\begin{aligned}
P \left( A \right) & = \sum_{i=1}^{n} P \left( B_{i} \right) P \left( A \mid B_{i} \right) \\ \\
P \left( B \right) & = \sum_{i=1}^{n} P \left( A_{i} \right) P \left( B \mid A_{i} \right)
\end{aligned}
$$

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对数“和差”公式的完整证明

一、前言 前言 - 荒原之梦

在本文中,「荒原之梦考研数学」将通过完善的逻辑推理,分别证明以下两个对数的“和”与“差”公式:

$$
\begin{aligned}
\log_{\alpha} M N & = \log_{\alpha} M + \log_{\alpha} N \\
\log_{\alpha} \frac{M}{N} & = \log_{\alpha} M – \log_{\alpha} N
\end{aligned}
$$

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取对数的作用:压缩数值、变非线性为线性

一、前言 前言 - 荒原之梦

取对数的作用:压缩数值、变非线性为线性 | 「荒原之梦考研数学」 | 图 01.
图 01. 朱诺号木星探测器携带物品之一:意大利太空署提供的伽利略铝质纪念牌(宽 2.8 英寸,高 2 英寸,重 6 克)。该纪念碑镌刻有伽利略的自画像,以及他于 1610 年发现木星卫星的亲笔记录字迹。来源:wikipedia.org

意大利物理学家、数学家和天文学家伽利略曾经说过:“给我空间、时间及对数,我就可以创造一个宇宙。”,同时,在我们学习数学或者使用数学的时候,也常常会遇到“对数”。

但是,取对数到底有什么用呢?在本文中,「荒原之梦考研数学」将为同学们揭开对数的“神秘”面纱。

正文

压缩数值

取对数的作用:压缩数值、变非线性为线性 | 「荒原之梦考研数学」 | 图 02.
图 02. 通过对数函数 $y = \ln x$, 可以将相距较大的两个数字 $A$ 和 $B$ 转换为相距较小的数字 $a$ 和 $b$, 并且,当 $A$ 和 $B$ 的值越大的时候,转换得到的 $a$ 和 $b$ 的值差距越小。

对数的其中一个作用就是可以“压缩”数值,或者说,对数可以反应较大数字的“量级”。

例如,对于数字 $123456$ 和 $654321$ 是两个相差特别大的数字,如果要比较这样的数字的大小,或者将其绘制在坐标图上,都不是很好表示,但如果我们对其取对数,就可以在减少这样的差异,并且不改变原有的大小关系(因为对数函数是一个单调递增的函数,可以保留原有的相对大小关系):

$$
\log_{10}^{123456} \simeq 5.0915
$$

$$
\log_{10}^{654321} \simeq 5.8158
$$

在上面做数值压缩的过程中,我们使用的是底数为 $10$ 的“常用对数”,因为常用的数字就是十进制的,用底数为 $10$ 的对数可以很方便的显示出原有数字的量级(一个“量级”就是十进制的一个“位”,即千位、百位和十位等),例如:

$$
\log_{10}^{6 \times 10^{\textcolor{springgreen}{8}}} \simeq \textcolor{springgreen}{8}.7782
$$

$$
\log_{10}^{9 \times 10^{\textcolor{springgreen}{8}}} \simeq \textcolor{springgreen}{8}.9542
$$

$$
\log_{10}^{2 \times 10^{\textcolor{orangered}{9}}} \simeq \textcolor{orangered}{9}.3010
$$

当然,用其他底数也可以大致反映出不同十进制数字的相对大小,但不能反映出十进制数字原本的量级:

$$
\log_{\mathrm{e}}^{6 \times 10^{\textcolor{pink}{8}}} \simeq \textcolor{tan}{20}.2124
$$

$$
\log_{\mathrm{e}}^{9 \times 10^{\textcolor{pink}{8}}} \simeq \textcolor{tan}{20}.6179
$$

$$
\log_{\mathrm{e}}^{2 \times 10^{\textcolor{pink}{9}}} \simeq \textcolor{tan}{21}.4164
$$

变非线性为线性

此外,取对数的另一个作用就是将非线性的式子转换为线性的式子。

例如,当 $Z$ 为变量,$n$ 为常数的时候,”$Z^{n}$” 不是一个线性表达式,但是,对其取对数之后,就可以转变为线性表达式 “$n \log Z$”:

$$
\log Z^{n} = n \log Z
$$

同样的,当 $x$ 和 $y$ 为变量的时候,”$xy$” 不是一个线性表达式,但是对其取对数之后,就可以转变为线性表达式 “$\log x$ $+$ $\log y$”:

$$
\log (xy) = \log x + \log y
$$

线性表达式在计算上更加简单,在人工智能领域有着广泛且深入的应用。


荒原之梦考研数学思维导图
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用“峰式画线法”证明矩阵乘法的转置运算律

一、前言 前言 - 荒原之梦

当矩阵的乘法和转置运算结合的时候,有如下运算律:

$$
\textcolor{yellow}{
(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\top} = \boldsymbol{B}^{\top} \boldsymbol{A}^{\top}
}
$$

从上面这条定理出发,我们可以验证任意多个矩阵相乘时的转置运算律。例如,若令矩阵 $\boldsymbol{B}$ $=$ $\boldsymbol{C} \boldsymbol{D}$, 则:

$$
\begin{aligned}
& \ (\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\top} = \boldsymbol{B}^{\top} \boldsymbol{A}^{\top} \\
\Rightarrow & \ [\boldsymbol{A} (\boldsymbol{C} \boldsymbol{D})]^{\top} = (\boldsymbol{C} \boldsymbol{D})^{\top} \boldsymbol{A}^{\top} \\
\Rightarrow & \ [\boldsymbol{A} \boldsymbol{C} \boldsymbol{D}]^{\top} = \boldsymbol{D}^{\top} \boldsymbol{C}^{\top} \boldsymbol{A}^{\top} \\
\end{aligned}
$$

在本文中,「荒原之梦考研数学」将使用原创的“峰式画线法”证明矩阵乘法的转置运算律。

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用一般具体的矩阵证明矩阵乘法的转置运算律

一、前言 前言 - 荒原之梦

在本文中,「荒原之梦考研数学」将使用一般具体的矩阵证明下面的定理(矩阵乘法的转置运算律):

$$
\textcolor{springgreen}{
(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\top} = \boldsymbol{B}^{\top} \boldsymbol{A}^{\top}
}
$$

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用完全抽象的矩阵证明矩阵乘法的转置运算律

一、前言 前言 - 荒原之梦

在本文中,「荒原之梦考研数学」将使用完全抽象的矩阵证明下面的定理(矩阵乘法的转置运算律):

$$
\textcolor{springgreen}{
(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\top} = \boldsymbol{B}^{\top} \boldsymbol{A}^{\top}
}
$$

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对抽象矩阵/行列式的计算,要尽可能“拖延”代入具体数值的时间

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 $\boldsymbol{A}$, $\boldsymbol{B}$ 是三阶方阵,且满足等式 $\boldsymbol{A}^{2} \boldsymbol{B}$ $-$ $\boldsymbol{A}$ $-$ $\boldsymbol{B}$ $=$ $\boldsymbol{E}$, 若 $\boldsymbol{A}$ $=$ $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{bmatrix}$, 则:

$$
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{B}
\end{vmatrix} = ?
$$

难度评级:

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概率统计中用于表示“方差”的那些符号

一、前言 前言 - 荒原之梦

方差可以用来描述随机变量的离散程度,是数理统计中一个常用的统计特征。

但是,在不同的数学学习资料中,表示方差所用的符号可能存在区别,这对我们的学习产生了一定的困扰。

因此,在本文中,「荒原之梦考研数学」就给同学们汇总整理了不同学习资料中常用的方差表示方法,以方便同学们的学习。

继续阅读“概率统计中用于表示“方差”的那些符号”

基于主对角线元素复杂度梯度的矩阵/行列式化简策略

一、前言 前言 - 荒原之梦

在「荒原之梦考研数学」的另一篇文章《矩阵/行列式 的一个优化策略》中,我们首次提出了在包含多个 $0$ 元素的矩阵/行列式中 的一个优化策略,那么,如果初始的矩阵/行列式中没有 $0$ 元素,或者只有少量的 $0$ 元素该怎么办呢?

在本文中,我们将以矩阵/行列式的主对角线为基准,通过元素复杂度梯度排列的方式,给同学们提供一种适用性更广泛的矩阵/行列式化简的方法。

继续阅读“基于主对角线元素复杂度梯度的矩阵/行列式化简策略”

极限不怕“无穷小”,但是极限怕“有限小”

一、题目题目 - 荒原之梦

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

“无穷小”和“有限小”

量不可数,例如,当 $x \rightarrow \infty$ 的时候,$\frac{1}{x}$, $\frac{2}{x}$, $\frac{9999999}{x}$ 都是无穷小量,我们也可以将无穷小理解为“无限小”;

量可数,例如,无论是 $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{100}$, 还是 $\frac{1}{9999999}$, 虽然在某些程度上都是很小的数字,但他们都是可数的,都是一个确定的量。

加上或者减去一个 量不会对原有的数值产生影响:

$$
\textcolor{brown}{\colorbox{yellow}{ 1 }} + \textcolor{pink}{ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} } = 1 + \textcolor{pink}{ 0 } \textcolor{springgreen}{ = 1 }
$$

加上或者减去一个 量会对原有的数值产生影响:

$$
\textcolor{brown}{\colorbox{yellow}{ 1 }} + \frac{1}{9999999} = \frac{9999999 + 1}{9999999} = \frac{10000000}{9999999} \textcolor{orangered}{\neq 1}
$$

有了上面的知识之后,求解本题就很容易了。

⟨A⟩ & ⟨B⟩

首先可以看到,无论是让 $K$ 加上 $\frac{1}{n}$ 还是减去 $\frac{1}{n}$, 当 $n$ 充分大时,也就是当 $n \rightarrow \infty$ 时,都有:

$$
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0
$$

也就是说,当 $n \rightarrow \infty$ 时:

$$
K + \frac{1}{n} = K – \frac{1}{n} = K
$$

又由题目已知条件 $\lim_{n \rightarrow \infty} A_{n}$ $=$ $K$ 可知:

$$
\begin{aligned}
A_{n} & \textcolor{springgreen}{=} K + \frac{1}{n} \quad \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{\checkmark}} \\ \\
A_{n} & \textcolor{springgreen}{=} K – \frac{1}{n} \quad \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{\checkmark}}
\end{aligned}
$$

综上可知,C

⟨C⟩ & ⟨D⟩

虽然我们不知道 $K$ 是一个正数还是一个负数,但是,由题目已知条件 $\lim_{n \rightarrow \infty} A_{n}$ $=$ $K$ $\neq$ $0$ 可知:

$$
\textcolor{orange}{
\lim_{n \rightarrow \infty} |A_{n}| = |K| > 0 } \tag{1}
$$

且:

$$
\frac{|K|}{2} > 0
$$

由于当 $n$ 足够大时,也就是 $n \rightarrow \infty$ 时,上面的 $\textcolor{orange}{(1)}$ 式一定成立,并且 $\frac{|K|}{2}$ 是一个可数的数值,所以下式一定成立:

$$
|K| > \frac{|K|}{2}
$$

即:

$$
\lim_{n \rightarrow \infty} |A_{n}| > \frac{|K|}{2}
$$

综上可知,C


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投石问路:线性代数中的升阶法详解

一、前言 前言 - 荒原之梦

在对高阶行列式进行计算的时候,其中一种计算方式就是“升阶”,也就是将原来的 $n$ 阶行列式升为 $n+1$ 阶行列式。

那么,什么样的行列式可以尝试升阶操作?怎么进行升阶操作?升阶之后该怎么进行接下来的计算呢?

在本文中,「荒原之梦考研数学」将就以上问题为同学们详细讲解。

继续阅读“投石问路:线性代数中的升阶法详解”

矩阵/行列式消 $0$ 的一个优化策略

一、前言 前言 - 荒原之梦

大部分时候,在对矩阵或者行列式进行运算的时候,我们都倾向于通过初等变换使得矩阵/行列式中产生更多的 $0$ 元素,或者说倾向于将矩阵/行列式中的非 $0$ 元素消为 $0$ 元素(在本文中,我们将这一类操作简称为“消 $0$”)。

那么,在消 $0$ 的时候,有什么注意事项呢?该采取什么样的策略,才能尽可能又快又多地消出来更多的 $0$ 元素呢?

在本文中,「荒原之梦考研数学」将为同学们详细讲解。

继续阅读“矩阵/行列式消 $0$ 的一个优化策略”

二阶矩阵的快速求逆公式

一、前言 前言 - 荒原之梦

求解逆矩阵是线性代数中的一个基本知识点。在考试时的时候,要求解的逆矩阵一般是二阶或者三阶的矩阵,在本文中,「荒原之梦考研数学」就给同学们一个二阶矩阵的快速求逆公式以及该公式的记忆方法。

继续阅读“二阶矩阵的快速求逆公式”

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