一、题目
已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,0,1,2)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,1,3,1)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}=(2,-1, a, 5)^{\mathrm{\top}}$ 线性相关，则 $a=?$
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继续阅读“三个四维列向量线性无关有什么性质？秩小于 3 还是小于 4 ?”标签： 线性代数练习题
只要存在线性相关的向量，则组成的行列式一定值为零——但一定要记得验证所得未知数的值是否会导致原本线性无关的向量变得线性相关
一、题目
已知向量 $\boldsymbol{\beta}=(1, a,-1)^{\mathrm{\top}}$ 可以由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(a+2,7,1)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,-1,2)^{\mathrm{\top}}$ 线性表出，则 $a=?$
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继续阅读“只要存在线性相关的向量，则组成的行列式一定值为零——但一定要记得验证所得未知数的值是否会导致原本线性无关的向量变得线性相关”将特征向量乘以一个倍数 k 并不会改变其原本对应的特征值
一、题目
已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵，其特征值是 $1,3,-2$, 相应的特征向量依次为 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$, 若 $\boldsymbol{P}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, 2 \boldsymbol{\alpha}_{3},-\boldsymbol{\alpha}_{2}\right]$, 则 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=?$
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继续阅读“将特征向量乘以一个倍数 k 并不会改变其原本对应的特征值”考研数学最重要的就是公式和计算：来算一个矩阵的特征值吧
一、题目
已知，矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -2 \\ 4 & -3 & 3 \\ 2 & -1 & 1\end{array}\right]$, 那么矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的三个特征值是（）
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继续阅读“考研数学最重要的就是公式和计算：来算一个矩阵的特征值吧”分块矩阵的 n 次方：初等矩阵的 n 次方、秩为 1 的矩阵的 n 次方
一、题目
已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 1\end{array}\right]$, 则 $\boldsymbol{A}^{5}=?$
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继续阅读“分块矩阵的 n 次方：初等矩阵的 n 次方、秩为 1 的矩阵的 n 次方”秩为 1 的矩阵的 n 次方你会求解吗
一、题目
已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & 3 \\ 4 & -2 & 6 \\ -2 & 1 & -3\end{array}\right]$, 则 $\boldsymbol{A}^{10}=?$
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继续阅读“秩为 1 的矩阵的 n 次方你会求解吗”若实对称矩阵有相同的正负惯性指数，则一定合同
一、题目
下面的矩阵中与矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 4 \\ 0 & 4 & 3\end{array}\right]$ 合同的矩阵是哪一个？
(A) $\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 1 & \\ & & 0\end{array}\right]$
(B) $\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 3 & \\ & & -2\end{array}\right]$
(C) $\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & -1 & \\ & & -1\end{array}\right]$
(D) $\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 2 & \\ & & 3\end{array}\right]$
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继续阅读“若实对称矩阵有相同的正负惯性指数，则一定合同”正定矩阵典型例题来啦
一、题目
下列矩阵中, 正定矩阵是哪一个？
(A) $\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -3 \\ 2 & 7 & 5 \\ -3 & 5 & 0\end{array}\right]$
(B) $\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -3 \\ 2 & 4 & 5 \\ -3 & 5 & 7\end{array}\right]$
(C) $\left[\begin{array}{ccc}5 & -2 & 0 \\ -2 & 6 & -2 \\ 0 & -2 & 1\end{array}\right]$
(D) $\left[\begin{array}{ccc}5 & 2 & 0 \\ 2 & 6 & 3 \\ 0 & 3 & -1\end{array}\right]$
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继续阅读“正定矩阵典型例题来啦”这一道题几乎把所有关于矩阵相似对角化的知识都考察到了
一、题目
下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是哪一个矩阵：
(A) $\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 3 \\ -1 & 3 & 5\end{array}\right]$
(B) $\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ -1 & 5 & -1\end{array}\right]$
(C) $\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 2 & 0 & -2 \\ -3 & 0 & 3\end{array}\right]$
(D) $\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]$
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继续阅读“这一道题几乎把所有关于矩阵相似对角化的知识都考察到了”相似对角化得到的对角矩阵主对角线上的元素就是特征值：做初等变换的矩阵 P 由与这些特征值依次对应的特征向量组成
一、题目
已知 $\boldsymbol{A}$ 是四阶矩阵，$\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 是 $3$ 维线性无关的列向量，且有 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1}=3 \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{2}=3 \boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{3}=\mathbf{0}$, 又知 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\left[\begin{array}{lll}3 & & \\ & 3 & \\ & & 0\end{array}\right]$, 则 $\boldsymbol{P}$ 可以是：
(A) $\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, 2 \boldsymbol{\alpha}_{2},-3 \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$.
(B) $\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$.
(C) $\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, 2 \boldsymbol{\alpha}_{1}+2 \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$.
(D) $\left[\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{1}\right]$.
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继续阅读“相似对角化得到的对角矩阵主对角线上的元素就是特征值：做初等变换的矩阵 P 由与这些特征值依次对应的特征向量组成”这道题千万不能先求解特征值再求解特征向量：直接用排除法即可
一、题目
以下向量不可能是矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 2 & 4 & -2 \\ -3 & -3 & 5\end{array}\right]$ 的特征向量的是哪一个？
(A) $(-1,1,0)^{\mathrm{\top}}$.
(B) $(1,-2,3)^{\mathrm{\top}}$.
(C) $(1,2,-1)^{\mathrm{\top}}$.
(D) $(3,-3,0)^{\mathrm{\top}}$.
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继续阅读“这道题千万不能先求解特征值再求解特征向量：直接用排除法即可”齐次线性方程组是否有非零解与系数矩阵的列向量是否相关有关
线性方程组有几个自由未知数，就有几个线性无关的解向量
一、题目
要使 $\boldsymbol{\eta}_{1}=(1,0,2)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\eta}_{2}=(0,1,-1)^{\mathrm{\top}}$ 都是齐次方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解，则矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可 以是下列哪一个？
(A) $\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & -1 \\ 4 & 0 & -2\end{array}\right]$.
(B) $\left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right]$.
(C) $\left[\begin{array}{ccc}4 & -2 & -2 \\ 2 & -1 & -1 \\ -6 & 3 & 3\end{array}\right]$.
(D) $\left[\begin{array}{ccc}4 & -2 & -2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right]$.
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继续阅读“线性方程组有几个自由未知数，就有几个线性无关的解向量”自由未知数和非自由未知数的取值不是固定的也不是任意的
一、题目
已知，齐次方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的系数矩阵化为阶梯形是 $\left[\begin{array}{ccccc}1 & -1 & 0 & -2 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]$, 则方程组自由变量不能取成下列的哪一项？
(A) $x_{2}, x_{3}$.
(B) $x_{2}, x_{5}$.
(C) $x_{1}, x_{4}$.
(D) $x_{1}, x_{2}$.
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继续阅读“自由未知数和非自由未知数的取值不是固定的也不是任意的”二次型中标准型所用的特征值的书写顺序有特殊规定吗？没有，但一般按照从小到大，或者从大到小的顺序写——如果有特征向量，则特征值要与特征向量顺序保持一致
一、题目
已知 $\boldsymbol{\alpha}=(1,-1,0)^{\mathrm{T}}$ 是二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=a x_{1}^{2}-2 x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}+2 b x_{2} x_{3}$ 的特征向量, 则此二次型经正交变换所得标准形是（）
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继续阅读“二次型中标准型所用的特征值的书写顺序有特殊规定吗？没有，但一般按照从小到大，或者从大到小的顺序写——如果有特征向量，则特征值要与特征向量顺序保持一致”