线性代数练习题 – 第 12 页

一、题目

要使 $\boldsymbol{\eta}_{1}=(1,0,2)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\eta}_{2}=(0,1,-1)^{\mathrm{\top}}$ 都是齐次方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解，则矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可以是下列哪一个？

(A) $\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & -1 \\ 4 & 0 & -2\end{array}\right]$.

(B) $\left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right]$.

(D) $\left[\begin{array}{ccc}4 & -2 & -2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right]$.

难度评级：

继续阅读

一、题目

已知，齐次方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的系数矩阵化为阶梯形是 $\left[\begin{array}{ccccc}1 & -1 & 0 & -2 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]$, 则方程组自由变量不能取成下列的哪一项？

(A) $x_{2}, x_{3}$.

(B) $x_{2}, x_{5}$.

(D) $x_{1}, x_{2}$.

难度评级：

继续阅读

二次型中标准型所用的特征值的书写顺序有特殊规定吗？没有，但一般按照从小到大，或者从大到小的顺序写——如果有特征向量，则特征值要与特征向量顺序保持一致

一、题目

已知 $\boldsymbol{\alpha}=(1,-1,0)^{\mathrm{T}}$ 是二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=a x_{1}^{2}-2 x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}+2 b x_{2} x_{3}$ 的特征向量, 则此二次型经正交变换所得标准形是（）

难度评级：

继续阅读

正交变换下标准型的变量 $y^{2}$ 的系数就是二次型矩阵的特征值

一、题目

二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=x_{1}^{2}+4 x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+4 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}+4 x_{2} x_{3}$ 在正交变换下的标准形为（）

难度评级：

继续阅读

正定二次型的各阶顺序主子式的值都大于零

一、题目

若二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ $=$ $a x_{1}^{2}+4 x_{2}^{2}+a x_{3}^{2}+6 x_{1} x_{2}+2 x_{2} x_{3}$ 是正定的，则 $a$ 的取值范围是多少？

难度评级：

继续阅读

正惯性指数就是二次型对应的矩阵 A 的正特征值的个数

一、题目

二次型 $2 x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}+2 x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}-2 x_{2} x_{3}$ 的正惯性指数 $p=?$

难度评级：

继续阅读

你知道怎么由二次型式子写出对应的矩阵 A 吗

一、题目

已知二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ $=$ $a x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}+a x_{3}^{2}+6 x_{1} x_{2}+2 x_{2} x_{3}$ 的秩为 2 , 则 $a=?$

难度评级：

继续阅读

实对称矩阵相似对角化时涉及到的正交化和单位化怎么算？

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶实对称矩阵，若正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^{-1} A Q=\left[\begin{array}{lll}3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 6\end{array}\right]$, 如果 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1$, $0,-1)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(0,1,1)^{\mathrm{\top}}$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 属于特征值 $\lambda=3$ 的特征向量，则 $Q=?$

难度评级：

继续阅读

千万不要被这道题目的表象骗了：有些条件并不是真正的已知条件

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵, $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 是三维线性无关的列向量，且 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1}=\boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{2}=\boldsymbol{\alpha}_{1}+$ $\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{3}=\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}$, 则矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值是（）

难度评级：

继续阅读

关于可以相似对角化的矩阵没有计算思路怎么办？特征值特征向量先算一算

一、题目

已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}3 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & a \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right]$ 和对角矩阵相似，则 $a=?$

难度评级：

继续阅读

使一个矩阵经相似对角化变成对角矩阵的矩阵 P 就是由该矩阵的特征向量组成的

一、题目

已知 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 1 & \\ & & -1\end{array}\right], \boldsymbol{P}=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right)$ 可逆，则矩阵 $\boldsymbol{A}$ 关于特征值 $\lambda=1$ 的特征向量是多少？

难度评级：

继续阅读

实对称矩阵（包括对角矩阵）属于不同特征值的特征向量正交

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶实对称矩阵，特征值是 $1,3,-2$, 其中 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,2,-2)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=(4,-1, a)^{\mathrm{\top}}$ 分别是属于特征值 $\lambda=1$ 与 $\lambda=3$ 的特征向量，那么矩阵 $\boldsymbol{A}$ 属于特征值 $\lambda=-2$ 的特征向量是（）

难度评级：

继续阅读