标签： 概率统计基础

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过四个例子和相关图示讲明白以下两个概率论中的定理：

1. 集合“交 $\cap$”运算的结果取决于较小的集合；
2. 集合“并 $\cup$”运算的结果取决于较大的集合。

继续阅读“交集取决于“小”的，并集取决于“大”的”

一、前言

根据概率论中的摩根律，我们知道，对于事件 $A$ 和事件 $B$, 有：

$$
\begin{aligned}
\overline{A \cup B} & = \bar{A} \cap \bar{B} \\
\overline{A \cap B} & = \bar{A} \cup \bar{B}
\end{aligned}
$$

有关摩根律的推导和理解有很多种方式方法，在本文中，「荒原之梦考研数学」将对韦恩图（Venn）进行改进，从而更好的解释摩根律。

难度评级：

继续阅读“用改进的韦恩（Venn）图理解概率论中的“摩根律””

一、性质

$A$ 与 $B$ 为互斥（互不相容）事件 $\Leftrightarrow$ $A$ $\cap$ $B$ $=$ $\varnothing$ $\Leftrightarrow$ $A$ 与 $B$ 不能同时发生。

$A$ 与 $B$ 为对立（互逆）事件 $\Leftrightarrow$ $A$ $\cap$ $B$ $=$ $\varnothing$ 且 $A$ $\cup$ $B$ $=$ $\Omega$ $\Leftrightarrow$ $A$ 与 $B$ 在一次试验中必然发生且只能发生一个。

若 $P(A)$ $=$ $0$ 或 $P(A)$ $=$1$, 则 $A$ 与任何事件都相互独立。

若 $A$ 与 $B$ 相互独立，则 $P(AB)$ $=$ $P(A)P(B)$.

若 $A$ 与 $B$ 互斥（或互逆）且均为非零概率事件，则 $A$ 与 $B$ 不相互独立。

若 $A$ 与 $B$ 相互独立且均为非零概率事件，则 $A$ 与 $B$ 不互斥。

二、图解

$A$ 与 $B$ 互斥（互不相容）关系如图 1 所示：

$A$ 与 $B$ 对立（互逆）关系如图 2 所示：

$A$ 与 $B$ 相互独立关系如图 3 所示：

$A$ 与 $B$ 互逆，互斥与独立之间的推导关系如图 4 所示：

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先来看一下互斥事件与对立事件的定义。

互斥事件的定义：

互斥事件（互不相容）：当 $AB$ $=$ $\varnothing$ (也可以写成 $A$ $\cap$ $B$ $=$ $\varnothing$)时，称事件 $A$ 与 事件$B$ 互不相容或互斥，事件 $A$, $B$ 不能同时发生.

对立事件的定义：

对立事件（逆事件）：若 $A$ $\cup$ $B$ $=$ $\Omega$ 且 $A$ $\cap$ $B$ $=$ $\varnothing$, 则称 $A$ 与 $B$ 互为逆事件，也称互为对立事件. $A$ 的对立事件记为 $\bar{A}$.

总的来说，互斥事件是一个比对立事件更广泛一些的概念，这一点从互斥事件与对立事件各自的定义上也可以看出来。互斥事件只限制了 $A$ $\cap$ $B$ $=$ $\varnothing$, 而对立事件不仅限制了 $A$ $\cap$ $B$ $=$ $\varnothing$, 还限制了 $A$ $\cup$ $B$ $=$ $\Omega$. 很显然，互斥事件的限制范围更宽松，因此能表示的范围也更大。

我们可以将互斥事件和对立事件理解成包含和被包含的关系：

对立必然互斥，互斥不一定对立。

如果要用普通语言表述互斥事件与对立事件，那就是：

对立是要么一定且只能是我，要么就一定且只能是你；

互斥是如果不是我，则可能是你，也可能另外的其他人。

为了进一步辅助理解，我画了两张图，大致表示出了对立事件和互斥事件，如下。

图 1 表示 $A$ 与 $B$ 为对立事件时其相互之间的关系：

图 2 表示 $A$ 与 $B$ 为互斥事件时其 相互之间的关系：

注：本文中的 “$\Omega$” 表示当前语境下的样本空间，即当前语境下所有样本点组成的集合。

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