标签： 概率统计基础

一、前言

切比雪夫不等式（又称：切贝雪夫不等式，英文名称：chebyshev’s theorem）在概率论与数理统计中这门课程中是一个非常重要的概念，该不等式在大数定理中也发挥着重要的作用。

在本文中，「荒原之梦考研数学」就通过直观的文字与图形化解释，帮助同学们更好地理解切比雪夫不等式。

继续阅读“切比雪夫不等式的含义及其可视化”

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过对二维连续型随机变量几何意义的解释，让同学们能够建立对二维连续型随机变量更直观的理解。

继续阅读“二维连续型随机变量的几何意义是什么？”

一、前言

我们知道，连续型随机变量 $\xi$ 的分布函数 $F$ 能够表示为非负可积的概率密度函数（分布密度函数）$p$ 在区间 $(-\mathrm{\infty },x)$ 上的积分，即：

$$F(x)={\int }_{–\mathbf{\infty }}^{x}p(t)\mathrm{d}t$$

其中，$-\mathrm{\infty }<x<+\mathrm{\infty }$.

但是，为什么对 $p(t)$ 的积分要从 $\mathbf{-}\mathbf{\infty }$ 开始呢？

继续阅读“连续型随机变量的分布函数为什么要从 $-\mathrm{\infty }$ 大开始积分？”

一、前言

全概率公公式的定义如下：

在本文中，「荒原之梦考研数学」就用 图 示 的方式，让同学们能够直观地理解全概率公式。

继续阅读“图解全概率公式”

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过文字和图示的方式解释概率论中的交集、并集、差集和补集。

继续阅读“概率论中的4种“集”：交集、并集、差集、补集”

一、题目

难度评级：

继续阅读“用画图的方式求解概率论题目很方便，但难点在于如何画和怎么理解”

一、前言

事件 $A$ 与其对立事件 $\overline{A}$ 可能相等吗？也就是说，下面这个式子成立吗：

$$A=\overline{A}$$

接下来，「荒原之梦考研数学」就给同学们阐释清楚上面这个问题。

继续阅读“事件与其对立事件可能相等吗？”

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过四个例子和相关图示讲明白以下两个概率论中的定理：

1. 集合“交 $\cap$”运算的结果取决于较小的集合；
2. 集合“并 $\cup$”运算的结果取决于较大的集合。

继续阅读“交集取决于“小”的，并集取决于“大”的”

一、前言

根据概率论中的摩根律，我们知道，对于事件 $A$ 和事件 $B$, 有：

$$\begin{array}{rl}\overline{A\cup B}& =\overline{A}\cap \overline{B}\\ \overline{A\cap B}& =\overline{A}\cup \overline{B}\end{array}$$

有关摩根律的推导和理解有很多种方式方法，在本文中，「荒原之梦考研数学」将对韦恩图（Venn）进行改进，从而更好的解释摩根律。

难度评级：

继续阅读“用改进的韦恩（Venn）图理解概率论中的“摩根律””

一、性质

$A$ 与 $B$ 为互斥（互不相容）事件 $\iff$ $A$ $\cap$ $B$ $=$ $\varnothing$ $\iff$ $A$ 与 $B$ 不能同时发生。

$A$ 与 $B$ 为对立（互逆）事件 $\iff$ $A$ $\cap$ $B$ $=$ $\varnothing$ 且 $A$ $\cup$ $B$ $=$ $\mathrm{\Omega }$ $\iff$ $A$ 与 $B$ 在一次试验中必然发生且只能发生一个。

若 $P(A)$ $=$ $0$ 或 $P(A)$ $=$1$,\mathrm{则}$A$ 与任何事件都相互独立。

若 $A$ 与 $B$ 相互独立，则 $P(AB)$ $=$ $P(A)P(B)$.

若 $A$ 与 $B$ 互斥（或互逆）且均为非零概率事件，则 $A$ 与 $B$ 不相互独立。

若 $A$ 与 $B$ 相互独立且均为非零概率事件，则 $A$ 与 $B$ 不互斥。

二、图解

$A$ 与 $B$ 互斥（互不相容）关系如图 1 所示：

$A$ 与 $B$ 对立（互逆）关系如图 2 所示：

$A$ 与 $B$ 相互独立关系如图 3 所示：

$A$ 与 $B$ 互逆，互斥与独立之间的推导关系如图 4 所示：

EOF

先来看一下互斥事件与对立事件的定义。

互斥事件的定义：

互斥事件（互不相容）：当 $AB$ $=$ $\varnothing$ (也可以写成 $A$ $\cap$ $B$ $=$ $\varnothing$)时，称事件 $A$ 与 事件$B$ 互不相容或互斥，事件 $A$, $B$ 不能同时发生.

对立事件的定义：

对立事件（逆事件）：若 $A$ $\cup$ $B$ $=$ $\mathrm{\Omega }$ 且 $A$ $\cap$ $B$ $=$ $\varnothing$, 则称 $A$ 与 $B$ 互为逆事件，也称互为对立事件. $A$ 的对立事件记为 $\overline{A}$.

总的来说，互斥事件是一个比对立事件更广泛一些的概念，这一点从互斥事件与对立事件各自的定义上也可以看出来。互斥事件只限制了 $A$ $\cap$ $B$ $=$ $\varnothing$, 而对立事件不仅限制了 $A$ $\cap$ $B$ $=$ $\varnothing$, 还限制了 $A$ $\cup$ $B$ $=$ $\mathrm{\Omega }$. 很显然，互斥事件的限制范围更宽松，因此能表示的范围也更大。

我们可以将互斥事件和对立事件理解成包含和被包含的关系：

对立必然互斥，互斥不一定对立。

如果要用普通语言表述互斥事件与对立事件，那就是：

对立是要么一定且只能是我，要么就一定且只能是你；

互斥是如果不是我，则可能是你，也可能另外的其他人。

为了进一步辅助理解，我画了两张图，大致表示出了对立事件和互斥事件，如下。

图 1 表示 $A$ 与 $B$ 为对立事件时其相互之间的关系：

图 2 表示 $A$ 与 $B$ 为互斥事件时其 相互之间的关系：

注：本文中的 “$\mathrm{\Omega }$” 表示当前语境下的样本空间，即当前语境下所有样本点组成的集合。

---

EOF