标签： 高等数学练习题

一、题目

求解数列极限：

$$I=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n\tan \left(\pi \sqrt{n^2+1}\right)=?$$

难度评级：

继续阅读“往前走一步，视野大不同：对于三角函数别忘了可以通过加减周期的方式做恒等变形”

一、题目

已知：

$$x_n={\left(\sum _{k=1}^n\frac{1}{2(1+2+\cdots +k)}\right)}^n$$

则：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=?$$

难度评级：

继续阅读“如何把无穷大量的求和运算变为求极限运算？”

一、题目

$$I=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{x^x-(\sin x{)}^x}{x^2\arctan x}=?$$

难度评级：

继续阅读“不是所有的幂指函数都一定要用 e 抬起进行转换：也可以尝试提取公因式”

一、题目

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{x^2}[{\int }_{2x-1}^{2x+1}{\mathrm{e}}^{t^2}\mathrm{d}t-{\int }_{-1}^1{\mathrm{e}}^{t^2}\mathrm{d}t]=?$$

难度评级：

继续阅读“不是所有趋于零的极限都可以随便用等价无穷小”

一、题目

$$I=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2{\mathrm{e}}^{2x}}{1+x^2{({\mathrm{e}}^x+1)}^2}=?$$

难度评级：

继续阅读“取大头：分子或分母中的加减法所连接的部分可以使用“取大头”算法”

一、题目

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^1{x}^n\sqrt{x+3}\mathrm{d}x=?$$

难度评级：

继续阅读“不是所有的定积分都必须做积分运算：在有极限的时候也可以尝试夹逼定理”

一、题目

已知：

$$f(x)=\{\begin{array}{lll}& x^3,& x<-1;\\ & 2-x,& -1⩽x⩽0;\\ & 2+x,& x>0\end{array}$$

且：

$$g(x)=\{\begin{array}{lll}& x^2,& x<0;\\ & -x,& x⩾0.\end{array}$$

则 $\underset{x\to 0}{lim}f[g(x)]=?$

难度评级：

继续阅读“你能写出这个复合函数吗？”

一、题目

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sqrt[4]{1-\sqrt[3]{1-\sqrt{1-x}}}-1}{(1+x{)}^{\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}}-1}=?$$

难度评级：

继续阅读“这有一个“眼花缭乱”的题：做的时候千万不要乱！”

一、题目

$$\underset{x\to 1}{lim}\frac{x-x^x}{1-x+\ln x}=?$$

难度评级：

继续阅读“不趋于零的怎么求？凑成零！”

一、题目

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{{(3+\sin x^2)}^x-3^{\sin x}}{x^3}=?$$

难度评级：

继续阅读“集火攻击：多种方法解一道题”

一、题目

$$I={\int }_{-1}^0\mathrm{d}x{\int }_{1-\sqrt{1-x^2}}^{-x}\frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{x^2+y^2}\sqrt{4-x^2-y^2}}=?$$

难度评级：

继续阅读“有根号又有平方的累次积分怎么求解？用极坐标系试一试吧！”

一、题目

$${\int }_1^2\mathrm{d}x{\int }_{\frac{1}{x}}^{2}y{\mathrm{e}}^{xy}\mathrm{d}y=?$$

难度评级：

继续阅读“计算累次积分的核心：分离两个变量，在两个不同的积分中分别计算”

一、题目

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\sin 2x\cdot {\mathrm{e}}^{|x|}\mathrm{d}x$ 的敛散性如何？

难度评级：

继续阅读““无穷”的“心思”不能靠“有穷”来猜”

一、题目

曲线 $y=x^2\sin x$ $(0⩽x⩽2\pi )$ 与 $X$ 轴所围成区域的面积 $S$ 的表达式是什么？

难度评级：

继续阅读“曲线与坐标轴所围成的面积不一定就等于对应区间上积分的值”

一、题目

已知 $a$ 与 $b$ 是两个常数, 且 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}$ ${\mathrm{e}}^x({\int }_0^{\sqrt{x}}{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t+a)$ $=$ $b$, 则

$$\{\begin{array}{ll}& a=?\\ & b=?\end{array}$$

难度评级：

继续阅读“利用现成的结论快速解题”