一、题目
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}\frac{\ln (x-1)}{(x-1)(x-2)}, \quad x \in(1,2) \cup (2,+\infty) \\ 0,\end{array}\right.$, 则 $f(x)$ 在其定义域的哪一部分是有界的？
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继续阅读“函数在其定义域端点处有界或无界其实就是在该点处有极限或者没极限的问题”标签： 高等数学练习题
极限存在的函数和极限不存在的函数放一块时极限是存在还是不存在呢：这几个特例很好用
一、题目
已知 $\lim \limits_{x \rightarrow a} f(x)=A, \lim \limits_{x \rightarrow a} g(x)$ 不存在，$\lim \limits_{x \rightarrow a} h(x)$ 不存在，则以下命题中，正确的是哪个？
(A) $\lim \limits_{x \rightarrow a}(f(x) \cdot g(x))$ 不存在.
(B) $\lim \limits_{x \rightarrow a}(g(x)+h(x))$ 不存在.
(C) $\lim \limits_{x \rightarrow a}(h(x) \cdot g(x))$ 不存在.
(D) $\lim \limits_{x \rightarrow a}(g(x)+f(x))$ 不存在.
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继续阅读“极限存在的函数和极限不存在的函数放一块时极限是存在还是不存在呢：这几个特例很好用”这道三角函数极限题你能秒解吗
一、题目
$$
I = \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left\{\left[\sin \left(\frac{\pi}{4}+\frac{1}{n}\right)\right]^{n}+\left[\sin \left(\frac{\pi}{2}+\frac{1}{n}\right)\right]^{n}\right \}=?
$$
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继续阅读“这道三角函数极限题你能秒解吗”披着数列极限外衣的函数无穷小问题：但是不能直接用等价无穷小公式哦
一、题目
当 $n \rightarrow \infty$ 时,数列 $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}-\mathrm{e}$ 是 $\frac{1}{n}$ 的等价无穷小吗？
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继续阅读“披着数列极限外衣的函数无穷小问题：但是不能直接用等价无穷小公式哦”乘、除、加、积分、求导对无穷小阶数的影响
一、题目
设 $x \rightarrow a$ 时 $f(x)$ 与 $g(x)$ 分别是 $x-a$ 的 $n$ 阶与 $m$ 阶无穷小, 则下列命题：
$(1)$ $f(x) g(x)$ 是 $x-a$ 的 $n+m$ 阶无穷小.
$(2)$ 若 $n>m$, 则 $\frac{f(x)}{g(x)}$ 是 $x-a$ 的 $n-m$ 阶无穷小.
$(3)$ 若 $n \leqslant m$, 则 $f(x)+g(x)$ 是 $x-a$ 的 $n$ 阶无穷小.
$(4)$ 若 $f(x)$ 连续, 则 $\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 是 $x-a$ 的 $n+1$ 阶无穷小.
$(5)$ 当 $n \geqslant 2$ 时，$f^{\prime}(x)$ 是 $x – a$ 的 $n-1$ 阶无穷小.
中, 正确的是哪几个？
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继续阅读“乘、除、加、积分、求导对无穷小阶数的影响”这有一道求解无穷小阶数的经典题目
一、题目
当 $x \rightarrow 0$ 时，下列无穷小量中最高阶的是哪个？
A. $(1+x)^{x^{2}}-1$
B. $e^{x^{4}-2 x}-1$
C. $\int_{0}^{x^{2}} \sin t^{2} \mathrm{~ d} t$
D. $\sqrt{1+2 x}-\sqrt[3]{1+3 x}$
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继续阅读“这有一道求解无穷小阶数的经典题目”这个二元函数一点处的导数你会求解吗？
一、题目
已知 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}x y \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0),\end{array}\right.$ 则：
$$
f_{x y}^{\prime \prime}(0,0)=?
$$
$$
f_{y x}^{\prime \prime}(0,0)=?
$$
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继续阅读“这个二元函数一点处的导数你会求解吗？”你能走出这个关于 $e^{x}$ 的迷宫吗？
一、题目
$$
I = \int_{0}^{+\infty} \frac{x \mathrm{e}^{-x}}{\left(1+\mathrm{e}^{-x}\right)^{2}} \mathrm{~d} x = ?
$$
难度评级：
继续阅读“你能走出这个关于 $e^{x}$ 的迷宫吗？”你能看出来下面关于数列极限的四个命题哪个是错误的吗？
一、题目
下面四个命题哪个是错误的：
(1) 数列极限 $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=a$ $\Leftrightarrow$ $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n+l}=a$. 其中 $l$ 为某个确定的正整数.
(2) 数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛 (即存在极限 $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ), 则 $x_{n}$ 有界.
(3) 数列极限 $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在 $\Leftrightarrow$ $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}}=1$.
(4) 数列 $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=a$ $\Leftrightarrow$ $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{2 n-1}$ $=$ $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{2 n}=a$.
难度评级：
继续阅读“你能看出来下面关于数列极限的四个命题哪个是错误的吗？”关于数列极限比值的那些事
一、前言 
你知道对于数列 $x_{n}$ 而言，$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}}$ 蕴含着多少知识吗？
继续往下看，会让你对数列极限的理解更上一层楼。
继续阅读“关于数列极限比值的那些事”有根号有平方：三角代换用起来！
配方法和代换法：你会用哪种方法做这道题？
这个不等式反映了积分的本质原理
一、题目
已知 $f(x)$ 一阶可导, $f(x)>0$, $f^{\prime}(x)>0$, 则当 $\Delta x>0$ 时，$\int_{x}^{x + \Delta x} f(t) \mathrm{d} t$, $f(x) \Delta x$ 和 $0$ 的大小关系如何？
难度评级：
继续阅读“这个不等式反映了积分的本质原理”有界震荡间断点处是可积的
一、题目
已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 1, & x=0\end{array}, F(x)=\int_{-1}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right.$, 则 $F(x)$ 在 $(-1,1)$ 区间上具有什么特征？
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继续阅读“有界震荡间断点处是可积的”原函数和导数之间的那些性质都在这道题里了
一、题目
已知 $F(x)$ 是 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上的一个原函数, 则据此能得出 $f(x)+F(x)$ 在 $(a, b)$ 内的哪些性质？
难度评级：
继续阅读“原函数和导数之间的那些性质都在这道题里了”