标签： 高等数学练习题

一、题目

$$\underset{x\to 0}{lim}{\left(\frac{1+\tan x}{1+\sin x}\right)}^{\frac{1}{x^3}}=?$$

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继续阅读“十八般武艺齐上阵：一道不是很简单的极限题”

一、题目

已知 $f(x)$ 在 $x=a$ 处二阶导数存在，则：

$$I=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-f^{\prime }(a)}{h}=?$$

难度评级：

继续阅读“洛必达法则不是什么时候都能用，但泰勒公式任何时候都能用”

一、题目

已知 $f(x)=\{\begin{array}{cc}{x}^2,& x⩽0,\\ x^a\sin \frac{1}{x},& x>0,\end{array}$ 若 $f(x)$ 可导，则 $\alpha$ 应满足什么条件？若 $f^{\prime }(x)$ 连续，则 $\alpha$ 应满足什么条件？

难度评级：

继续阅读“可导必连续：连续不一定可导，不连续一定不可导”

一、题目

已知 $f(x)=\{\begin{array}{cl}\frac{\ln (1+bx)}{x},& x\ne 0\\ -1,& x=0,\end{array}$ 其中 $b$ 为某常数，$f(x)$ 在定义域上处处可导，则 $f^{\prime }(x)=?$

难度评级：

继续阅读“解这道题需要注意两点：可导必连续、一点处的导数要用定义求解”

一、题目

已知 $f(x)=\{\begin{array}{cl}\arctan x,& x⩽1\\ \frac{1}{2}({\mathrm{e}}^{x^2-1}-x)+\frac{\pi }{4},& x>1,\end{array}$, 则 $f^{\prime }(x)=?$

难度评级：

继续阅读“你会处理分段函数分段点处的导数吗？”

一、题目

已知 $f(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x+x^2{\mathrm{e}}^{nx}}{1+{\mathrm{e}}^{nx}}$, 则 $f(x)$ 的连续区间是多少？

难度评级：

继续阅读“极限函数的连续区间问题：首先分清哪个是自变量”

一、题目

已知，函数 $f(x)=\frac{{\mathrm{e}}^x-b}{(x-a)(x-b)}$ 有无穷间断点 $x=\mathrm{e}$, 可去间断点 $x=1$, 则 $(a,b)=?$

难度评级：

继续阅读“这道题千万不能跟着感觉走：极值点要一个一个验证”

题目 01

已知，函数 $f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{\sin x(b\cos x-1)}{{\mathrm{e}}^x+a},& x>0,\\ \frac{\sin x}{\ln (1+3x)},& x<0\end{array}$ 在 $x=0$ 点极限存在, 则 $a,b$ 分别为多少？

难度评级：

继续阅读“由已知“猜”未知：一点处极限存在，则该点左右两侧的极限相等”

一、题目

已知函数 $f(x)=\{\begin{array}{c}\frac{\ln (x-1)}{(x-1)(x-2)},x\in (1,2)\cup (2,+\mathrm{\infty })\\ 0,\end{array}$, 则 $f(x)$ 在其定义域的哪一部分是有界的？

难度评级：

继续阅读“函数在其定义域端点处有界或无界其实就是在该点处有极限或者没极限的问题”

一、题目

已知 $\underset{x\to a}{lim}f(x)=A,\underset{x\to a}{lim}g(x)$ 不存在，$\underset{x\to a}{lim}h(x)$ 不存在，则以下命题中，正确的是哪个？

(A) $\underset{x\to a}{lim}(f(x)\cdot g(x))$ 不存在.

(B) $\underset{x\to a}{lim}(g(x)+h(x))$ 不存在.

(C) $\underset{x\to a}{lim}(h(x)\cdot g(x))$ 不存在.

(D) $\underset{x\to a}{lim}(g(x)+f(x))$ 不存在.

难度评级：

继续阅读“极限存在的函数和极限不存在的函数放一块时极限是存在还是不存在呢：这几个特例很好用”

一、题目

$$I=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\{{[\sin (\frac{\pi }{4}+\frac{1}{n})]}^n+{[\sin (\frac{\pi }{2}+\frac{1}{n})]}^n\}=?$$

难度评级：

继续阅读“这道三角函数极限题你能秒解吗”

一、题目

当 $n\to \mathrm{\infty }$ 时,数列 ${(1+\frac{1}{n})}^n-\mathrm{e}$ 是 $\frac{1}{n}$ 的等价无穷小吗？

难度评级：

继续阅读“披着数列极限外衣的函数无穷小问题：但是不能直接用等价无穷小公式哦”

一、题目

设 $x\to a$ 时 $f(x)$ 与 $g(x)$ 分别是 $x-a$ 的 $n$ 阶与 $m$ 阶无穷小, 则下列命题：

$(1)$ $f(x)g(x)$ 是 $x-a$ 的 $n+m$ 阶无穷小.

$(2)$ 若 $n>m$, 则 $\frac{f(x)}{g(x)}$ 是 $x-a$ 的 $n-m$ 阶无穷小.

$(3)$ 若 $n⩽m$, 则 $f(x)+g(x)$ 是 $x-a$ 的 $n$ 阶无穷小.

$(4)$ 若 $f(x)$ 连续, 则 ${\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$ 是 $x-a$ 的 $n+1$ 阶无穷小.

$(5)$ 当 $n⩾2$ 时，$f^{\prime }(x)$ 是 $x–a$ 的 $n-1$ 阶无穷小.

中, 正确的是哪几个？

难度评级：

继续阅读“乘、除、加、积分、求导对无穷小阶数的影响”

一、题目

当 $x\to 0$ 时，下列无穷小量中最高阶的是哪个？

A. $(1+x{)}^{x^2}-1$

B. $e^{x^4-2x}-1$

C. ${\int }_0^{x^2}\sin t^2\mathrm{d}t$

D. $\sqrt{1+2x}-\sqrt[3]{1+3x}$

难度评级：

继续阅读“这有一道求解无穷小阶数的经典题目”

一、题目

已知 $f(x,y)=\{\begin{array}{cc}xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2},& (x,y)\ne (0,0),\\ 0,& (x,y)=(0,0),\end{array}$ 则：

$$f_{xy}^{\prime \prime }(0,0)=?$$

$$f_{yx}^{\prime \prime }(0,0)=?$$

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继续阅读“这个二元函数一点处的导数你会求解吗？”