标签： 考研数学二

题目

设函数 $f(x)$ 在区间 $[0, 1]$ 上具有二阶导数，且 $f(1) > 0$, $\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{x} < 0$. 证明：

$(Ⅰ)$ 方程 $f(x) = 0$ 在区间 $(0, 1)$ 内至少存在一个实根；

$(Ⅱ)$ 方程 $f(x) f^{”}(x) +$ $[f^{‘}(x)]^{2} = 0$ 在区间 $(0, 1)$ 内至少存在两个不同实根.

题目

求：

$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \sum _{k = 1}^{n} \frac{k}{n^{2}} \ln (1 + \frac{k}{n}).
$$

题目

已知函数 $y(x)$ 由方程 $x^{3} + y^{3} – 3x + 3y – 2 = 0$ 确定，求 $y(x)$ 的极值.

题目

设函数 $f(u,v)$ 具有二阶连续偏导数，$y =$ $f(e^{x}, \cos x)$, 求 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}|_{x = 0}$, $\frac{\mathrm{d} ^{2} y}{\mathrm{d} x^{2}}|_{x = 0}$.

题目

求解：

$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_{0}^{x} \sqrt{x – t} e^{t} \mathrm{d} t}{\sqrt{x^{3}}}.
$$

题目

编号：A2016221

已知函数 $f(x)$ 在 $[0, \frac{3 \pi}{2}]$ 上连续，在 $(0, \frac{3 \pi}{2})$ 内是函数 $\frac{\cos x}{2x – 3 \pi}$ 的一个原函数，且 $f(0) = 0$.

$(Ⅰ)$ 求 $f(x)$ 在区间 $[0, \frac{3 \pi}{2}]$ 上的平均值；

$(Ⅱ)$ 证明 $f(x)$ 在区间 $(0, \frac{3 \pi}{2})$ 内存在唯一零点.

题目

编号：A2016220

设 $D$ 是由曲线 $y=\sqrt{1-x^{2}}$ $(0 \leqslant x \leqslant 1)$ 与 $\left\{\begin{matrix}
x= \cos ^{3} t;\\
y = \sin ^{3} t.
\end{matrix}\right.$ $(0 \leqslant t \leqslant \frac{\pi}{2})$ 围成的平面区域，求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积。

题目

编号：A2016219

已知 $y_{1}(x) = \mathrm{e}^{x}$, $y_{2}(x) = u(x) \mathrm{e}^{x}$ 是二阶微分方程：

$$
(2x – 1) y^{\prime \prime} – (2x + 1) y^{\prime} + 2y = 0
$$

的两个解. 若 $u(-1) = \mathrm{e}$, $u(0) = -1$, 求 $u(x)$, 并写出该微分方程的通解.

题目

编号：A2016218

设 $D$ 是由直线 $y = 1$, $y = x$, $y = – x$ 围成的有界区域，计算二重积分：

$$
\iint_{D} \frac{x^{2} – xy – y^{2}}{x^{2} + y^{2}}.
$$

题目

编号：A2016217

已知函数 $z =$ $z(x,y)$ 由方程 $(x^{2} +$ $y^{2}) z +$ $\ln z +$ $2(x + y + 1) = 0$ 确定，求 $z = z(x,y)$ 的极值.

题目

编号：A2016216

设函数 $f(x) =$ $\int_{0}^{1} |t^{2} – x^{2}| dt$ $(x > 0)$, 求 $f^{\prime}(x)$, 并求 $f(x)$ 的最小值.

一、题目

编号：A2016215

求极限：$\lim_{x \rightarrow 0} (\cos 2x + 2x \sin x)^{\frac{1}{x^{4}}}$