设线密度为 $1$ 的细直棒的两个端点分别位于点 $\left( -1, 0 \right)$ 和点 $\left( 1, 0 \right)$ 处，质量为 $m$ 的质点位于点 $\left( 0, 1 \right)$ 处，$G$ 为引力常数，则该细直棒对该质点的引力大小为（ ）
»A« $\int_{0}^{1} \frac{2Gmx}{(x^{2}+1)^{\frac{1}{2}}} \mathrm{~d}x$
»B« $\int_{0}^{1} \frac{2Gm}{(x^{2}+1)^{\frac{1}{2}}} \mathrm{~d}x$
»C« $\int_{0}^{1} \frac{2Gmx}{(x^{2}+1)^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d}x$
»D« $\int_{0}^{1} \frac{2Gm}{(x^{2}+1)^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d}x$
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继续阅读“2026年考研数二第04题解析：定积分的物理应用”$$
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{D}
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
1 & -1 & 1 & x-1 \\ 1 & -1 & x+1 & -1 \\ 1 & x-1 & 1 & -1 \\ x+1 & -1 & 1 & -1
\end{vmatrix} = ?
$$
对于一个二元隐函数（或者说二元方程式） $F(x, y) = 0$, $y = y(x)$ 而言，对 $x$ 求导（全导数）的公式的一般推导过程如下：
$$
\begin{aligned}
& F \left( x, y \right) = 0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \frac{\mathrm{d} F \left( x, y \right)}{\mathrm{d} x} = 0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \textcolor{orange}{ F^{\prime}_{x} \left( x, y \right) + F^{\prime}_{y} \left( x, y \right) \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = 0 } \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{- F^{\prime}_{x} \left( x, y \right)}{F^{\prime}_{y} \left( x, y \right)}
\end{aligned}
$$
其中，$F^{\prime}_{y} \left( x, y \right) \neq 0$.
当然，我们也可以简写成下面的形式：
$$
\begin{aligned}
& F \left( x, y \right) = 0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \frac{\mathrm{d} F}{\mathrm{d} x} = 0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \textcolor{orange}{ F^{\prime}_{x} + F^{\prime}_{y} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = 0 } \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{- F^{\prime}_{x} }{F^{\prime}_{y} }
\end{aligned}
$$
其中，$F^{\prime}_{y} \neq 0$.
此外，还可以写成下面的形式：
$$
\begin{aligned}
& F \left( x, y \right) = 0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \frac{\mathrm{d} F}{\mathrm{d} x} = 0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \textcolor{orange}{ \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = 0 } \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{- \partial F / \partial x }{ \partial F / \partial x }
\end{aligned}
$$
其中，$\frac{\partial F}{\partial x} \neq 0$.
可以看到，要理解上面的公式，最主要的就是要理解 $\frac{\partial F}{\partial x}$ $+$ $\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ $=$ $0$ 这个式子是怎么来的.
在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过一些实例，以递进式的方式，为同学们讲清楚上面这个式子的由来.
继续阅读“由方程式确定的隐函数求导公式的“实例递进式”推导”计算行列式 $\begin{vmatrix} \boldsymbol{D} \end{vmatrix}$ $=$ $\begin{vmatrix} \alpha & \beta & \gamma \\ \gamma & \alpha & \beta \\ \beta & \gamma & \alpha \end{vmatrix}$, 其中 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ 是方程 $x^{3} + px + q$ $=$ $0$ 的三个根.
继续阅读“使用韦达定理求解行列式的值”韦达定理描述了多项式方程的根与方程系数之间的关系. 由于该定理由法国数学家弗朗索瓦·韦达首次发现，因此得名.
在「荒原之梦考研数学」的《齐次函数详解与示例》这篇文章中，我们以定义和示例的方式理解了什么是齐次函数，在本文中，我们将通过四则运算的运算律和峰式图两种方式，来深入理解齐次函数的本质机制.
继续阅读“峰图 | 齐次函数本质机制的两种解释”$$
I = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ 2 – \left(\frac{1+\cos x}{2}\right)^{x} – \left[\frac{1+\ln(1+x)}{1+x}\right]^{x}}{x^{3}} = ?
$$
如果一个矩阵是幂零矩阵，那么，无论经过怎么样的初等变换，这个矩阵都是幂零矩阵吗？
反过来说，如果一个矩阵不是幂零矩阵，那么，无论经过怎么样的初等变换，这个矩阵都不是幂零矩阵吗？
在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们深入解析这一问题.
继续阅读“初等变换是否会改变矩阵的幂零属性？”什么是“峰图”：
峰图（Feng Graph）指的是，由「荒原之梦」（zhaokaifeng.com）原创的一种基于抽象图形的数学定理可视化定义、解释、推导与应用的方法. 「荒原之梦」认为，和自然语言一样，数学的本质原理并不局限于特定的表达形式. 所以，如果说传统上的数学是基于数字（包括各种符号）进行描述的数字数学，那么，峰图就是要建立（现在是局部建立）基于图形的，数字数学的几何形态“克隆体”，并力求使数学原理的表述和数学问题的解答变得更加简单、直观且易于理解.
在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们详细介绍一下考研数学线性代数中的“幂零矩阵”.
同时，在本文中，「荒原之梦考研数学」还会通过“峰图（峰式图）”的方式证明为什么有些矩阵是（不是）幂零矩阵，同时以形象的方式展示幂零矩阵的“塌缩”机制.
继续阅读“峰图 | 基于“动线交点”理论理解幂零矩阵的“塌缩”机制”对于考研数学经常考察的微分方程而言，无论是齐次还是非齐次的线性微分方程都存在通解，那么，非线性的微分方程存在通解吗？
在本文中，我们就来回答一下这个问题，让同学们对非线性微分方程的性质有一个更加深入的理解.
继续阅读“非线性微分方程会存在通解吗？”由于在通解的存在性这一问题上，常微分方程和偏微分方程具有同样的性质. 所以，本文中对非线性微分方程的讨论，主要以非线性常微分方程为例.
