已知，函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0, 1]$ 上连续，在开区间 $(0,1)$ 内可导，且：
$$
f(1)=k \int_0^{\frac{1}{k}} x \mathrm{e}^{1-x} f(x) \mathrm{~d} x
$$
其中常数 $k>1$.
请证明存在 $\xi \in(0,1)$, 使得下式成立：
$$
f^{\prime}(\xi)=\left(1-\frac{1}{\xi}\right) \cdot f(\xi)
$$
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继续阅读“计算含有“表述环路”的式子，首先需要“打破环路””已知，函数 $f(x)$ 二阶可导，且 $f ^{\prime} (x)$ $=$ $f(n-x)$, $f(0)$ $=$ $1$, 则：
$$
f(x) = ?
$$
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继续阅读“导数等于原函数的“平移”：这样的函数一般都由三角函数构成”$$
I = \int_{0}^{ \frac{\pi}{2}} \ln ( \sin x ) \mathrm{~d} x = ?
$$
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继续阅读“明修栈道，暗度陈仓：化简对数函数先凑乘法”请求解下面式子的极限：
$$
\begin{aligned}
K_{1} & = \lim_{ x \rightarrow a } \frac{ a^{x} – x^{a}}{x-a} \\ \\
K_{2} & = \lim_{ x \rightarrow a } \frac{ x^{x} – a^{a} }{x-a} \\ \\
K_{3} & = \lim_{x \rightarrow a } \frac{\tan x – \tan a}{ x^{a} – a^{a} }
\end{aligned}
$$
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继续阅读“利用导数的定义求解式子的极限”已知 $y(x)$ $=$ $\sin^{3} x$ $+$ $\sin x \cos x$, 则：
$$
y^{(n)} = ?
$$
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继续阅读“求三角函数的 $n$ 阶导：先降幂”
三角函数的二倍角公式（$\sin 2x$, $\cos 2x$, $\tan 2x$, $\cot 2x$）很常用，三角函数的三倍角公式在求解一些题目的时候，也是一个非常有用的工具。在本文中，「荒原之梦考研数学」将给同学们整理出一份常用的三角函数三倍角公式。
继续阅读“三角函数的三倍角公式”请证明下面这个数列 $\left\{ x_{n} \right\}$ 的极限存在，并求解其极限：
$$
\sqrt{2}, \quad \sqrt{2+\sqrt{2}}, \quad \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}, \quad \cdots
$$
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继续阅读“平方运算不会改变大于或等于 $0$ 的数字间的大小关系”已知 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 都是 $n$ 阶矩阵，且：
$$
\boldsymbol{A B} = \boldsymbol{E}
$$
则：
$$
\boldsymbol{A} \left[ \boldsymbol{E} – \boldsymbol{A} \left( \boldsymbol{E} + \boldsymbol{A}^{\top} \boldsymbol{B}^{\top} \right)^{-1} \boldsymbol{B} \right] \boldsymbol{B} = ?
$$
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继续阅读“乘法运算中的矩阵一般不可以“自由流动”，但单位矩阵可以”是 $n$ 阶方阵，且满足：
$$
\boldsymbol{A}^{2} = \boldsymbol{A}
$$
请证明：
$$
\mathbf{r} (\boldsymbol{A}) + \mathbf{r} (\boldsymbol{A} – \boldsymbol{E}) = n
$$
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继续阅读“乘以自己还和自己相等的矩阵就是在单位矩阵框架内秩互补的矩阵”在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们证明下面这个公式：
$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{AB} = \boldsymbol{O} \\
\Leftrightarrow & \ \mathbf{r} (\boldsymbol{A}) + \mathbf{r} (\boldsymbol{B}) \leqslant n
\end{aligned}
$$
其中，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 都是 $n \times n$ 阶方阵。
继续阅读“关于由 $\boldsymbol{AB}$ $=$ $\boldsymbol{O}$ 可得 $\mathbf{r} (\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathbf{r} (\boldsymbol{B})$ $\leqslant$ $n$ 的一个简单证明方式”$$
I = \int_{2}^{+ \infty} \frac{1}{x \sqrt{x-1}} \mathrm{~d} x = ?
$$
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继续阅读“对式子的等价转换除了有先加后减，还有先开方再平方”在考研数学的线性代数科目中，我们有时候会遇到要使用下面这个公式的题目：
$$
\mathbf{r} (\boldsymbol{A}) + \mathbf{r} (\boldsymbol{E} – \boldsymbol{A}) \geqslant \mathbf{r} (\boldsymbol{E})
$$
事实上，往年的考研数学真题中也曾出现过要用该性质的题目。但是，同学们在使用这个性质的时候，可能会对上面这个不等式为什么成立产生疑问，在文本中，「荒原之梦考研数学」就给出一种简单的证明方式，帮助同学们解除疑惑。
继续阅读“关于 $\mathbf{r} (\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathbf{r} (\boldsymbol{E}$ $-$ $\boldsymbol{A})$ $\geqslant$ $\mathbf{r} (\boldsymbol{E})$ 的一个简单证明”