标签： 线性代数练习题

一、题目

行列式 $\left|\begin{array}{llll}a & 1 & 0 & 0 \\ b & a & 1 & 0 \\ 0 & b & a & 1 \\ 0 & 0 & b & a\end{array}\right|=?$

难度评级：

继续阅读“这个行列式没有什么计算规律：对于四阶的行列式计算，直接尝试降阶即可”

一、题目

已知，有四阶行列式 $D$ $=$ $\left|\begin{array}{cccc}1 & 0 & 4 & 0 \\ 2 & -1 & -1 & 2 \\ 0 & -6 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & -1 & 2\end{array}\right|$, 则其第四行各元素代数余子式之和，即 $A_{41}+A_{42}+A_{43}+A_{44}=?$

难度评级：

继续阅读“求解某行元素的代数余子式之和：千万不要傻傻的直接算哦”

一、题目

已知，二阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的一个特征向量为 $\left(\begin{array}{c}-3 \\ 1\end{array}\right)$, 且 $|\boldsymbol{A}|<0$, 则 $k\left(\begin{array}{c}-3 \\ 1\end{array}\right)$、$\left(\begin{array}{l}1 \\ 3\end{array}\right)$、$k_{1}\left(\begin{array}{c}-3 \\ 1\end{array}\right)+k_{2}\left(\begin{array}{l}1 \\ 3\end{array}\right)$ $(k_{1} \neq 0$ 且 $k_{2} \neq 0)$ 和 $k_{1}\left(\begin{array}{c}-3 \\ 1\end{array}\right)+k_{2}\left(\begin{array}{l}1 \\ 3\end{array}\right)$（$k_{1}$ 和 $k_{2}$ 不同时为零）中，一定是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量的是哪个或哪些？

难度评级：

继续阅读“二阶矩阵？实对称？行列式不等于零？这背后隐藏着什么规律？”

一、题目

已知，线性方程组 $\left\{\begin{array}{c}x_{1}-\lambda x_{2}-2 x_{3}=-1 \\ x_{1}-x_{2}+\lambda x_{3}=2 \\ 5 x_{1}-5 x_{2}-4 x_{3}=\lambda\end{array}\right.$ 有唯一解，则 $\lambda$ 满足什么条件？

难度评级：

继续阅读“当系数矩阵与增广矩阵的秩相等且等于未知数的个数时：对应的非齐次线性方程组有唯一解”

一、题目

当 $t$ 满足什么条件时，可以保证二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ $=$ $2 x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 t x_{2} x_{3}$ 是正定的？

难度评级：

继续阅读“正定二次型是对应的二次型矩阵的各阶顺序主子式都大于零而不是不等于零”

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}$ 为二阶方阵, $\boldsymbol{B}$ 为三阶方阵，且 $|\boldsymbol{A}|=|\boldsymbol{B}|=2$, 则 $\left|\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A}^{*} \\ -2 \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}\end{array}\right|=?$

难度评级：

继续阅读“副对角线上有分块矩阵的行列式的计算公式怎么记？将一个“块”看做一个数字就可以啦”

一、题目

已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,2,3,1)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=(3,4,7,-1)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}=(2,6, a, 6)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{4}=(0,1,3, a)^{\mathrm{\top}}$, 那么 $a=8$ 是 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性相关的充要条件吗？

难度评级：

继续阅读“什么是“前充分后必要”？什么是“小充分大必要”？这道题体现得淋漓尽致”

一、题目

已知矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵 $\boldsymbol{A}^{*}=\left[\begin{array}{cccc}4 & -2 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1\end{array}\right]$, 则 $\boldsymbol{A}=?$

难度评级：

继续阅读“怎么通过伴随矩阵求解原矩阵？这个关于伴随矩阵的核心公式一定要牢记！”

一、题目

已知 $\boldsymbol{P A}=\boldsymbol{B P}$, 其中 $\boldsymbol{P}=\left[\begin{array}{lll}0 & 2 & 4 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 5\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]$, 则 $\boldsymbol{A}^{100}=?$

难度评级：

继续阅读“这种涉及到超大次幂的题目一定是有规律的”

一、题目

下面的二次型中，经正交变换后得到的标准形不是 $y_{1}^{2}+3 y_{2}^{2}-y_{3}^{2}$ 的是哪个？

(A) $3 x_{2}^{2}+2 x_{1} x_{3}$

(B) $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+4 x_{1} x_{2}$

(C) $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}-4 x_{2} x_{3}$

(D) $2 x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}-x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}$

难度评级：

继续阅读“对于这类不问“是什么”，而是问“不是什么”的题目要格外注意”

一、题目

已知，二次型 $a x_{1}^{2}+(2 a-1) x_{2}^{2}+a x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}+2 a x_{1} x_{3}-2 x_{2} x_{3}$
的正惯性指数 $p=1$. 则 $a$ 的取值范围是多少？

难度评级：

继续阅读“通过二次型的正惯性指数确定变量的取值范围”

一、题目

已知，二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ $=$ $2 x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2 x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 t x_{2} x_{3}$ 的秩为 $2$, 则 $t=?$

难度评级：

继续阅读“根据二次型的秩求解二次型矩阵中的未知数：矩阵中有一个不为零的子式你能找到吗？”

一、题目

二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ $=$ $x_{2}^{2}+2 x_{1} x_{3}$ 的正惯性指数 $p=?$

难度评级：

继续阅读“这个带有平方项的二次型却没办法按照拉格朗日配方法配成完全平方，该怎么办？”

一、题目

使用拉格朗日配方法将 $f$ $=$ $2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}-6 x_{2} x_{3}$ 化为标准形，并求出对应的线性变换矩阵 $C$.

难度评级：

继续阅读“对没有平方项的二次项使用拉格朗日配方法：有时候直接反解方程组比求解逆矩阵更简单”