标签： 线性代数练习题

一、题目

继续阅读“峰式特例法：所有 $n$ 维向量都可以尝试假定为一维向量”

一、题目

已知 $\mathit{A}$, $\mathit{B}$ 是三阶方阵，且满足等式 ${\mathit{A}}^2\mathit{B}$ $-$ $\mathit{A}$ $-$ $\mathit{B}$ $=$ $\mathit{E}$, 若 $\mathit{A}$ $=$ $\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 2& 0\\ -2& 0& 1\end{array}\right]$, 则：

$$\left|\begin{array}{c}\mathit{B}\end{array}\right|=?$$

难度评级：

继续阅读“对抽象矩阵/行列式的计算，要尽可能“拖延”代入具体数值的时间”

一、前言

在「荒原之梦考研数学」的另一篇文章《矩阵/行列式 的一个优化策略》中，我们首次提出了在包含多个 $0$ 元素的矩阵/行列式中 的一个优化策略，那么，如果初始的矩阵/行列式中没有 $0$ 元素，或者只有少量的 $0$ 元素该怎么办呢？

在本文中，我们将以矩阵/行列式的主对角线为基准，通过元素复杂度梯度排列的方式，给同学们提供一种适用性更广泛的矩阵/行列式化简的方法。

继续阅读“基于主对角线元素复杂度梯度的矩阵/行列式化简策略”

一、前言

在对高阶行列式进行计算的时候，其中一种计算方式就是“升阶”，也就是将原来的 $n$ 阶行列式升为 $n+1$ 阶行列式。

那么，什么样的行列式可以尝试升阶操作？怎么进行升阶操作？升阶之后该怎么进行接下来的计算呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」将就以上问题为同学们详细讲解。

继续阅读“投石问路：线性代数中的升阶法详解”

一、题目

继续阅读“对行列式中系数的提取要以行或者列为单位进行”

一、题目

已知 ${\mathit{\alpha }}_{\mathbf{1}}$, ${\mathit{\alpha }}_{\mathbf{2}}$, $\cdots$, ${\mathit{\alpha }}_s$（其中 $s⩽n$）是一组 $n$ 维列向量，$\mathit{A}$ 是 $n$ 阶矩阵。如果：

$$\begin{array}{rl}& \mathit{A}{\mathit{\alpha }}_1={\mathit{\alpha }}_2,\\ & \mathit{A}{\mathit{\alpha }}_2={\mathit{\alpha }}_3,\\ & \cdots ,\\ & \mathit{A}{\mathit{\alpha }}_{s-1}={\mathit{\alpha }}_s\ne \mathbf{0},\\ & \mathit{A}{\mathit{\alpha }}_s=\mathbf{0}\end{array}$$

请证明向量组 ${\mathit{\alpha }}_1$, ${\mathit{\alpha }}_2$, $\cdots$, ${\mathit{\alpha }}_s$ 线性无关。

难度评级：

继续阅读“借助函数或数列的思想研究向量的变化过程”

一、题目

$$D=\left|\begin{array}{cccccc}{a}_0& 1& 1& \cdots & 1& 1\\ 1& a_1& 0& \cdots & 0& 0\\ 1& 0& a_2& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& \cdots \\ 1& 0& 0& \cdots & a_{n-1}& 0\\ 1& 0& 0& \cdots & 0& a_n\end{array}\right|=?$$

难度评级：

继续阅读“计算“鸡爪型”行列式的思路：消去其中一“爪””

一、题目

已知 $\mathit{A}$ 和 $\mathit{B}$ 都是 $n$ 阶矩阵，且：

$$\mathit{A}\mathit{B}=\mathit{E}$$

则：

$$\mathit{A}\left[\mathit{E}–\mathit{A}{(\mathit{E}+{\mathit{A}}^{\mathrm{\top }}{\mathit{B}}^{\mathrm{\top }})}^{-1}\mathit{B}\right]\mathit{B}=?$$

难度评级：

继续阅读“乘法运算中的矩阵一般不可以“自由流动”，但单位矩阵可以”

一、题目

是 $n$ 阶方阵，且满足：

$${\mathit{A}}^2=\mathit{A}$$

请证明：

$$\mathbf{r}(\mathit{A})+\mathbf{r}(\mathit{A}–\mathit{E})=n$$

难度评级：

继续阅读“乘以自己还和自己相等的矩阵就是在单位矩阵框架内秩互补的矩阵”

一、题目

[A]. $a\ne b$ 且 $b+2a$ $\ne$ $0$

[B]. $a\ne b$ 且 $b+2a$ $=$ $0$

[C]. $a=b$ 或 $b+2a$ $\ne$ $0$

[D]. $a=b$ 或 $b+2a$ $=$ $0$

难度评级：

继续阅读“题目的答案就是题目的充分必要条件：答案既不能只是题目的充分条件，也不能是题目的必要条件”

一、题目

已知 $n$ 阶矩阵 $\mathit{A}$ 和 $\mathit{B}$ 满足：

$$\{\begin{array}{l}\mathit{A}=\frac{1}{3}(\mathit{B}+\mathit{E})\\ \\ {\mathit{A}}^2=\mathit{A}\end{array}$$

则：

$$\mathit{B}=?$$

难度评级：

继续阅读“借助二次方程求解未知矩阵”

一、题目

难度评级：

继续阅读“利用好分块矩阵的性质，可以节省计算步骤”

一、题目

难度评级：

继续阅读“行列式中的“消消乐””

一、前言

我们知道，形如下面这样的行列式，被称之为“范德蒙行列式”：

$$D_n=\left|\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& \cdots & 1\\ x_1& x_2& x_3& \cdots & x_n\\ x_1^2& x_2^2& x_3^2& \cdots & x_n^2\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ x_1^{n–1}& x_2^{n–1}& x_3^{n–1}& \cdots & x_n^{n–1}\end{array}\right|$$

上面这个行列式的计算结果为：

$$D_n=\prod _{1⩽j<i⩽n}\left(x_i–x_j\right)$$

但是，在大部分的考试中，特别是考研数学中，并不会直接给我们一个标准形式的范德蒙行列式，更多的是会给出一个看上去像是其他形式的行列式，需要我们经过一些转化，才能转变为范德蒙行列式的标准形式，进而使用范德蒙行列式的计算公式。

在本文中，荒原之梦考研数学将给出若干道可以转变为范德蒙行列式计算的“范德蒙变体行列式”，并分析什么情况下可以考虑将一个行列式向范德蒙行列式转换。

继续阅读“范德蒙行列式“变体”行列式的计算”

一、题目

难度评级：

继续阅读“矩阵乘法一般是不能交换的：除非他们相乘得单位矩阵”