标签： 线性代数基础

一、前言

在线性代数中，我们会遇到关于单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 的如下写法：

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{E}_{12} \quad \boldsymbol{E}_{23} \quad \boldsymbol{E}_{31} \quad \cdots
\end{aligned}
$$

那么，上面这种写法表示什么意思呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们详细讲解一下。

继续阅读“线性代数中的 E12, E23 表示什么意思？”

一、前言

如果两个二次型之间可以通过坐标变换相互转化，那么这两个二次型的系数矩阵之间具有什么关系呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们详细讲解这一问题。

继续阅读“通过坐标变换联系起来的两个二次型的系数矩阵互为合同矩阵”

一、前言

在荒原之梦考研数学的《行列式的定义式（计算公式）该怎么理解？》这篇文章中，我们理解了如下这个行列式的计算公式中每一项的具体含义：

$$
\left|\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1⁢⁢⁢n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2⁢⁢⁢n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{m}\end{matrix}\right| =
\textcolor{yellow}{\sum _{j_{1} j_{2} \cdots j_{n}}} \textcolor{springgreen}{\left(−1\right)^{\tau \left(j_{1}j_{2} \cdots j_{n}\right)}} \textcolor{pink}{a_{1j_{1}}a_{2j_{2}} \cdots a_{n}}
$$

这个计算公式是一个标准的计算公式，因为其中表示行列式行数的 “$a_{1}$, $a_{2}$, $\cdots$, $a_{n}$” 是顺序排列的，那么，如果组成行列式展开式中的项的元素不是顺序排列相乘的，该怎么确定这个项的正负呢？

在本文中，荒原之梦考研数学就带大家一探究竟。

继续阅读“如何确定行列式展开计算公式中每一项的正负？”

一、前言

我们知道，$n$ 阶行列式的定义公式如下，同时，下面的公式也是计算 $n$ 阶行列式的通用公式：

$$
\left|\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1⁢⁢⁢n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2⁢⁢⁢n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{m} \end{matrix}\right| =
\textcolor{yellow}{\sum _{j_{1} j_{2} \cdots j_{n}}} \textcolor{springgreen}{\left(−1\right)^{\tau \left(j_{1}j_{2} \cdots j_{n}\right)}} \textcolor{pink}{a_{1j_{1}}a_{2j_{2}} \cdots a_{n}}
$$

那么，如何理解上面这个公式呢？

在本文中，荒原之梦考研数学将通过一点点的拆解剖析和例题，为同学们讲明白这个知识点。

继续阅读“行列式的定义式（计算公式）该怎么理解？”

一、前言

如果已知 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$, 以及 $n$ 阶零矩阵 $\boldsymbol{O}$, 且下式成立：

$$
\boldsymbol{AB} = \boldsymbol{O}
$$

那么，我们能判断出来有关矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的哪些性质呢？

在本文中，荒原之梦考研数学将借助类似“俄罗斯方块”游戏中的元素，为同学们解释清楚这个问题。

继续阅读“用“俄罗斯方块”理解两矩阵相乘得零矩阵所蕴含的规律”

一、前言

一个 $n$ 阶行列式的展开式有多少项？在本文中，荒原之梦考研数学就通过实际计算和演示推理，给同学们讲明白，为什么 $n$ 阶行列式的展开式中有 $n!$ 个项。

继续阅读“n阶行列式的展开项有n!个”

一、前言

通过本文中，我们将解决下面的问题：

1. 什么样的矩阵可以做加减运算？
2. 实际矩阵的加减运算怎么做？
3. 抽象矩阵的加减运算有哪些定理？

继续阅读“矩阵的加减运算：只有同型矩阵才可以做加减运算，所得的也是同型矩阵”

一、前言

通过本文，我们将理解为什么对于 $n$ 阶矩阵 $A$, 如果 $A^{2} = O$, 则下式成立：

$$
r(A) \leqslant \frac{n}{2}
$$

继续阅读“平方为零的n阶方阵的秩为什么一定小于或等于n/2”