问题
若矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 是等价矩阵，则 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 是 否 一定是 同 型 矩阵？选项
[A]. 等价与同型无关[B]. 不一定是
[C]. 一定不是
[D]. 一定是
等 价 矩阵 一 定 是 同 型 矩阵
矩阵的等价与同型（C011）
[B]. 不一定是
[C]. 一定不是
[D]. 一定是
标签： 线性代数基础
[B]. 不一定是
[C]. 一定不是
[D]. 一定是
什么是同型矩阵？（C011）
问题
什么是 同 型 矩 阵 ？选项
[A]. 行数等于列数的矩阵[B]. 行数和列数都对应相等的矩阵
[C]. 特征值相等的矩阵
[D]. 可逆的矩阵
行 数 和 列 数 都 对 应 相 等 的矩阵就是 同 型 矩 阵
等价矩阵的性质：$\boldsymbol{P}$ $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{Q}$ $=$ $\boldsymbol{B}$（C011）
问题
如果矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 等价，则存在矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和 $\boldsymbol{Q}$ 使得：$\boldsymbol{\textcolor{orange}{P}}$ $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{A}}$ $\boldsymbol{\textcolor{orange}{Q}}$ $=$ $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}$.则，上面的矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{P}}$ 和 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{Q}}$ 具有什么样的性质？
选项
[A]. $\boldsymbol{P}$ $=$ $\boldsymbol{Q}$[B]. $\boldsymbol{P}$ 和 $\boldsymbol{Q}$ 均可逆
[C]. $\boldsymbol{P}^{\top}$ $=$ $\boldsymbol{Q}$
[D]. $\boldsymbol{P}^{-1}$ $=$ $\boldsymbol{Q}$
$\boldsymbol{\textcolor{orange}{P}}$ 和 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{Q}}$ 均 可 逆
矩阵等价的定义（C011）
问题
矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 等 价 的 定 义 是什么？选项
[A]. 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可以经有限次初等变换变成矩阵 $\boldsymbol{B}$[B]. 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可以经有限次求逆运算变成矩阵 $\boldsymbol{B}$
[C]. 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可以经有限次转置运算变成矩阵 $\boldsymbol{B}$
[D]. 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可以经一次初等变换变成矩阵 $\boldsymbol{B}$
如果矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$ 经过 有 限 次 初 等 变 换 可以变成矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}$, 则称矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$ 与 $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}$ 等 价
初等矩阵 $\boldsymbol{E}_{i j}(k)$ 的逆矩阵（C011）
问题
已知矩阵 $\boldsymbol{E}_{i j}(k)$ $=$ $\begin{bmatrix} 1 & k & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ 是一个经过一次第三种初等变换形成的初等矩阵，则该矩阵的逆矩阵 $\boldsymbol{E}_{i j}^{-1}(k)$ 是下列选项中的哪一个？选项
[A]. $\begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{k} & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$[B]. $\begin{bmatrix} 1 & k & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
[C]. $\begin{bmatrix} 1 & -k & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
[D]. $\begin{bmatrix} 1 & \frac{-1}{k} & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
$\boldsymbol{E}_{i j}^{-1}(\textcolor{cyan}{k})$ $=$ $\begin{bmatrix} 1 & \textcolor{orange}{k} & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}^{-1}$ $=$ $\begin{bmatrix} 1 & \textcolor{orange}{-k} & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ $=$ $\boldsymbol{E}_{i j}(\textcolor{cyan}{-k})$
拓展资料 
初等矩阵 $\boldsymbol{E}_{i}(k)$ 的逆矩阵（C011）
问题
已知矩阵 $\boldsymbol{E}_{i}(k)$ $=$ $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & k & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ 是一个经过一次第二种初等变换形成的初等矩阵，则该矩阵的逆矩阵 $\boldsymbol{E}_{i}^{-1}(k)$ 是下列选项中的哪一个？选项
[A]. $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \frac{1}{k} & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$[B]. $\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & \frac{1}{k} & 0\\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
[C]. $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & k & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
[D]. $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \frac{-1}{k} & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
$\boldsymbol{E}_{i}^{-1}(k)$ $=$ $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \textcolor{orange}{k} & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}^{-1}$ $=$ $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \textcolor{orange}{\frac{1}{k}} & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ $=$ $\boldsymbol{E}_{i}\left(\frac{1}{k}\right)$
拓展资料
初等矩阵 $\boldsymbol{E_{i j}}$ 的逆矩阵（C011）
问题
已知矩阵 $\boldsymbol{E_{i j}}$ $=$ $\begin{bmatrix} 0 & \textcolor{orange}{1} & 0\\ \textcolor{orange}{1} & 0 & 0\\ 0 & 0 & \textcolor{orange}{1} \end{bmatrix}$ 是一个经过一次第一种初等变换形成的 初 等 矩 阵 ，则该矩阵的 逆 矩 阵 $\boldsymbol{E_{i j}^{-1}}$ 是下列选项中的哪一个？选项
[A]. $\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$[B]. $\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
[C]. $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$
[D]. $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} 0 & \textcolor{orange}{1} & 0\\ \textcolor{orange}{1} & 0 & 0\\ 0 & 0 & \textcolor{orange}{1} \end{bmatrix}^{\textcolor{red}{-1}}$ $=$ $\begin{bmatrix} 0 & \textcolor{cyan}{1} & 0\\ \textcolor{cyan}{1} & 0 & 0\\ 0 & 0 & \textcolor{cyan}{1} \end{bmatrix}$
$\boldsymbol{E}_{i j}^{-1}$ $=$ $\boldsymbol{E}_{i j}$
拓展资料
初等矩阵的逆矩阵是否还是初等矩阵？（C011）
问题
根据初等矩阵的性质，初等矩阵的 逆 矩 阵 是否还是初等矩阵？选项
[A]. 否[B]. 是
初等矩阵的 逆 矩 阵 还 是 初等矩阵
初等矩阵的可逆性（C011）
问题
根据初等矩阵的性质，初 等 矩 阵 都 可 逆 吗 ？选项
[A]. 初等矩阵均可逆[B]. 部分初等矩阵可逆
[C]. 初等矩阵不可逆
初等矩阵 均 可 逆
初等变换与初等矩阵的关系之：“右列”原则（C011）
问题
如果对矩阵 $\boldsymbol{A}_{m \times n}$ 实施一次 初 等 列 变 换 ，就相当于在 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$ 的 哪 边 乘 以 一个相应的 $m$ 阶 初 等 矩 阵 ？选项
[A]. 左右两边[B]. 左边
[C]. 右边
[D]. 左边或者右边
对矩阵 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}_{m \times n}}$ 实施一次初等 列 变换，就相当于在 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$ 的 右 边 乘以相应的 $\textcolor{cyan}{n}$ 阶初等矩阵
初等变换与初等矩阵的关系之：“左行”原则（C011）
问题
如果对矩阵 $\boldsymbol{A}_{m \times n}$ 实施一次 初 等 行 变 换 ，就相当于在 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$ 的 哪 边 乘 以 一个相应的 $m$ 阶 初 等 矩 阵 ？选项
[A]. 左边[B]. 左边或者右边
[C]. 左右两边
[D]. 右边
对矩阵 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}_{m \times n}}$ 实施一次初等 行 变换，就相当于在 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$ 的 左 边 乘以相应的 $\textcolor{cyan}{m}$ 阶初等矩阵
第三种初等矩阵的表示方法（C011）
问题
将单位矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{E}}$ 第 $\textcolor{orange}{i}$ 行 元素的 $\textcolor{tan}{k}$ 倍加到第 $\textcolor{orange}{j}$ 行 上，或者将单位矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{E}}$ 第 $\textcolor{orange}{i}$ 列 元素的 $\textcolor{tan}{k}$ 倍加到第 $\textcolor{orange}{j}$ 列 上，所得的矩阵被称为第 三 种初等矩阵。根据惯例，以下对第 三 种初等矩阵的 符 号 表 示 中，正 确 的是哪个？
选项
[A]. $\boldsymbol{E}_{i j}(k)$[B]. $k \boldsymbol{E}_{i j}$
[C]. $\boldsymbol{E}_{j}(k)$
[D]. $\boldsymbol{E}_{i}(k)$
单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 作变换 $r_{\textcolor{cyan}{j}}$ $+$ $\textcolor{tan}{k} r_{\textcolor{orange}{i}}$（或 $c_{\textcolor{orange}{i}}$ $+$ $\textcolor{tan}{k} c_{\textcolor{cyan}{j}}$），得初等矩阵 $\boldsymbol{E}_{\textcolor{orange}{i} \textcolor{cyan}{j}}(\textcolor{tan}{k})$
第二种初等矩阵的表示方法（C011）
问题
将单位矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{E}}$ 第 $i$ 行 元素 $\textcolor{orange}{r_{i}}$ 或者将单位矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{E}}$ 第 $i$ 列 元素 $\textcolor{orange}{c_{i}}$ 乘 以 非零常数 $\textcolor{tan}{k}$, 所得的矩阵被称为第 二 种初等矩阵。根据惯例，以下对第 二 种初等矩阵的 符 号 表 示 中，正 确 的是哪个？
选项
[A]. $\boldsymbol{E}_{i}$[B]. $\boldsymbol{E}_{i}(k)$
[C]. $\boldsymbol{E}_{i j}(k)$
[D]. $k \boldsymbol{E}_{i}$
单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 作变换 $r_{\textcolor{orange}{i}}$ $\times$ $\textcolor{cyan}{k}$（或 $c_{\textcolor{orange}{i}}$ $\times$ $\textcolor{cyan}{k}$），得初等矩阵 $\boldsymbol{E}_{\textcolor{orange}{i}}(\textcolor{cyan}{k})$
第一种初等矩阵的表示方法（C011）
问题
将单位矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{E}}$ 第 $i$ 行 元素 $\textcolor{orange}{r_{i}}$ 与第 $j$ 行 元素 $\textcolor{orange}{r_{j}}$ 做一次交换或者将单位矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{E}}$ 第 $i$ 列 元素 $\textcolor{orange}{c_{i}}$ 与第 $j$ 列 元素 $\textcolor{orange}{c_{j}}$ 做一次交换，所得的矩阵被称为第 一 种初等矩阵。根据惯例，以下对第 一 种初等矩阵的 符 号 表 示 中，正 确 的是哪个？
选项
[A]. $\boldsymbol{E}_{i j}(k)$[B]. $\boldsymbol{E}_{j}$
[C]. $\boldsymbol{E}_{i}$
[D]. $\boldsymbol{E}_{i j}$
$\boldsymbol{E}$ 作变换 $r_{\textcolor{orange}{i}}$ $\leftrightarrow$ $r_{\textcolor{cyan}{j}}$（或 $c_{\textcolor{orange}{i}}$ $\leftrightarrow$ $c_{\textcolor{cyan}{j}}$），得初等矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{red}{E}}_{\textcolor{orange}{i} \textcolor{cyan}{j}}$
什么是初等矩阵？（C011）
问题
已知，$\boldsymbol{E}$ 为单位矩阵， 则 以 下 关 于 初 等 矩 阵 的 说 法 中 ，正确的是哪个？选项
[A]. $\boldsymbol{E}$ 经过两次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵[B]. $\boldsymbol{E}$ 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵
[C]. $\boldsymbol{E}$ 经过任意次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵
[D]. $\boldsymbol{E}$ 经过一次初等行变换和一次初等列变换得到的矩阵称为初等矩阵
$\boldsymbol{E}$ 经过 一 次 初等变换得到的矩阵称为初等矩阵