线性代数基础归档 - 第12页共18页

$n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆的充要条件：$|\boldsymbol{A}|$（C010）

问题

已知，$\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵，则当矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的行列式 $\textcolor{orange}{|\boldsymbol{A}|}$ 满足如下哪个条件时，可以判断矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆？

选项

[A]. $|\boldsymbol{A}|$ $\neq$ $0$

[B]. $|\boldsymbol{A}|^{2}$ $=$ $1$

[C]. $|\boldsymbol{A}|$ $=$ $1$

[D]. $|\boldsymbol{A}|$ $=$ $0$

答案

$n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆 $\Leftrightarrow$ $\textcolor{orange}{|\boldsymbol{A}|}$ $\textcolor{red}{\neq}$ $\textcolor{cyan}{0}$

问题

在线性代数中，非奇异矩阵指的是什么？

选项

[A]. 转置矩阵

[B]. 伴随矩阵

[C]. 不可逆矩阵

[D]. 可逆矩阵

答案

可逆矩阵有时候也被称为“非奇异矩阵”。

问题

已知矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶方阵，则以下哪个条件的成立可使矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 成为互逆矩阵？

选项

[A]. $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{B}$ $=$ $-$ $\boldsymbol{B}$ $\boldsymbol{A}$

[B]. $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{B}$ $=$ $\boldsymbol{B}$ $\boldsymbol{A}$

[C]. $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{B}$ $=$ $\boldsymbol{B}$ $\boldsymbol{A}$ $=$ $\boldsymbol{E}$

[D]. $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{B}$ $=$ $\boldsymbol{E}$

答案

设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，如果存在 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{B}$, 使得：
$\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$ $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}$ $=$ $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}$ $\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$ $=$ $\boldsymbol{\textcolor{red}{E}}$

则称 $\boldsymbol{A}$ 为可逆矩阵或非奇异矩阵，并称 $\boldsymbol{B}$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的逆矩阵，记作 $\boldsymbol{B}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{-1}$.

当然，$\boldsymbol{A}$ 也可以称为 $\boldsymbol{B}$ 的逆矩阵，记作 $\boldsymbol{A}$ $=$ $\boldsymbol{B}^{-1}$.

可逆矩阵的表示方法（C010）

问题

已知 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶可逆矩阵。则，以下哪个选项是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的逆矩阵的正确表示方法？

选项

[A]. $\boldsymbol{A}^{*}$

[B]. $\boldsymbol{A}^{\top}$

[C]. $\boldsymbol{A}^{-1}$

[D]. $\boldsymbol{A}^{- \top}$

答案

$\boldsymbol{A}^{\textcolor{orange}{-1}}$ 表示矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的逆矩阵

可逆矩阵的行列特征（C010）

问题

已知 $m$ 和 $n$ 均为常数，$\boldsymbol{A}$ 表示矩阵，则以下哪个行列特征结构的矩阵 $\boldsymbol{A}$ 最有可能是可逆矩阵？

选项

[A]. $\boldsymbol{A}_{1 \times m}$

[B]. $\boldsymbol{A}_{n \times m}$

[C]. $\boldsymbol{A}_{n \times 1}$

[D]. $\boldsymbol{A}_{n \times n}$

答案

$\boldsymbol{A}_{\textcolor{orange}{n} \times \textcolor{orange}{n}}$ 或者 $\boldsymbol{A}_{\textcolor{cyan}{m} \times \textcolor{cyan}{m}}$

伴随矩阵的性质：$(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B})^{}$ 与 $\boldsymbol{A}^{}$ $+$ $\boldsymbol{B}^{*}$（C009）

问题

根据伴随矩阵的性质，$(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B})^{*}$ 与 $\boldsymbol{A}^{*}$ $+$ $\boldsymbol{B}^{*}$ 是否相等？

选项

[A]. 相等

[B]. 不相等

答案

不相等
$(\boldsymbol{A} \textcolor{cyan}{+} \boldsymbol{B})^{\textcolor{orange}{*}}$ $\textcolor{red}{\neq}$ $\boldsymbol{A}^{\textcolor{orange}{*}}$ $\textcolor{cyan}{+}$ $\boldsymbol{B}^{\textcolor{orange}{*}}$

伴随矩阵的性质：$\left(\boldsymbol{A}^{}\right)^{}$（C009）

问题

已知，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 是三阶或者大于三阶的方阵，$n$ 为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的阶数，则 $\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{*}$ $=$ $?$

选项

[A]. $\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{*}$ $=$ $\frac{1}{|\boldsymbol{A}|^{n-2}}$ $\boldsymbol{A}$

[B]. $\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{*}$ $=$ $|\boldsymbol{A}|$ $\boldsymbol{A}$

[C]. $\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{*}$ $=$ $|\boldsymbol{A}|^{n-1}$ $\boldsymbol{A}$

[D]. $\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{*}$ $=$ $|\boldsymbol{A}|^{n-2}$ $\boldsymbol{A}$

答案

$\left(\boldsymbol{A}^{\textcolor{orange}{*}}\right)^{\textcolor{orange}{*}}$ $=$ $\textcolor{red}{|\boldsymbol{A}|}^{\textcolor{cyan}{n-2}}$ $\boldsymbol{\textcolor{white}{A}}$
其中，$n$ 为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的阶数，$n$ $\geq$ $3$.

伴随矩阵的性质：$\left(\boldsymbol{A}^{}\right)^{\mathrm{T}}$ 与 $\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)^{}$ 的关系（C009）

问题

根据伴随矩阵的性质，$\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{\mathrm{T}}$ 与 $\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)^{*}$ 是否相等？

选项

[A]. 不相等

[B]. 相等

答案

相等
$\left(\boldsymbol{A}^{\textcolor{orange}{*}}\right)^{\mathrm{\textcolor{cyan}{T}}}$ $=$ $\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{\textcolor{cyan}{T}}}\right)^{\textcolor{orange}{*}}$

伴随矩阵的性质：$\left(\boldsymbol{A}^{}\right)^{-1}$ 与 $\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{}$ 的值（C009）

问题

根据伴随矩阵的性质，我们知道：
$\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{*}$

那么，$\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{*}$ $=$ $?$

选项

[A]. $\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{*}$ $=$ $\frac{1}{|\boldsymbol{A}|^{2}} \boldsymbol{A}$

[B]. $\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{*}$ $=$ $|\boldsymbol{A}| \boldsymbol{A}$

[C]. $\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{*}$ $=$ $\frac{1}{|\boldsymbol{A}|} \boldsymbol{A}$

[D]. $\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{*}$ $=$ $\frac{-1}{|\boldsymbol{A}|} \boldsymbol{A}$

答案

$\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{*}$ $=$ $\textcolor{orange}{\frac{1}{|\boldsymbol{A}|}} \textcolor{cyan}{\boldsymbol{A}}$

伴随矩阵的性质：$\left(\boldsymbol{A}^{}\right)^{-1}$ 与 $\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{}$ 的关系（C009）

问题

根据伴随矩阵的性质，$\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{-1}$ 与 $\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{*}$ 是否相等？

选项

[A]. 相等

[B]. 不相等

答案

相等

$\left(\boldsymbol{A}^{\textcolor{orange}{*}}\right)^{\textcolor{gray}{-1}}$ $=$ $\left(\boldsymbol{A}^{\textcolor{gray}{-1}}\right)^{\textcolor{orange}{*}}$

伴随矩阵的性质：$\boldsymbol{A A}^{}$ 与 $\boldsymbol{A}^{} \boldsymbol{A}$ 的值（C009）

问题

根据伴随矩阵的性质，已知：
$\boldsymbol{A A}^{*}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{A}$

则，$\boldsymbol{A A}^{*}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{A}$ $=$ $?$

选项

[A]. $\boldsymbol{A A}^{*}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{A}$ $=$ $- |\boldsymbol{A}| \boldsymbol{E}$

[B]. $\boldsymbol{A A}^{*}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{A}$ $=$ $\boldsymbol{E}$

[C]. $\boldsymbol{A A}^{*}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{A}$ $=$ $|\boldsymbol{A}|$

[D]. $\boldsymbol{A A}^{*}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{A}$ $=$ $|\boldsymbol{A}| \boldsymbol{E}$

答案

$\boldsymbol{A A}^{*}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{A}$ $=$ $\textcolor{orange}{|\boldsymbol{A}|} \textcolor{cyan}{\boldsymbol{E}}$

伴随矩阵的性质：$\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{A}^{}$ 与 $\boldsymbol{A}^{}$ $\boldsymbol{A}$ 的关系（C009）

问题

根据伴随矩阵的性质，$\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{A}^{*}$ 与 $\boldsymbol{A}^{*}$ $\boldsymbol{A}$ 是否相等

选项

[A]. 是

[B]. 否

答案

是
$\textcolor{cyan}{\boldsymbol{A}}$ $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}^{*}}$ $\textcolor{red}{=}$ $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}^{*}}$ $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{A}}$

伴随矩阵的性质：$(\boldsymbol{A B})^{*}$（C009）

问题

已知，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 是二阶或者大于二阶的方阵，则 $(\boldsymbol{A B})^{*}$ $=$ $?$

选项

[A]. $(\boldsymbol{A B})^{*}$ $=$ $\boldsymbol{B}^{*} \boldsymbol{A}^{*}$

[B]. $(\boldsymbol{A B})^{*}$ $=$ $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$

[C]. $(\boldsymbol{A B})^{*}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{B}^{*}$

[D]. $(\boldsymbol{A B})^{*}$ $=$ $\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$

答案

$(\boldsymbol{A B})^{\textcolor{cyan}{*}}$ $=$ $\boldsymbol{B}^{\textcolor{cyan}{*}} \boldsymbol{A}^{\textcolor{cyan}{*}}$ $\textcolor{red}{\neq}$ $\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{B}^{*}$

伴随矩阵的性质：$(\boldsymbol{k} \boldsymbol{A})^{*}$（C009）

问题

已知，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 是二阶或者大于二阶的方阵，则 $(\boldsymbol{k} \boldsymbol{A})^{*}$ $=$ $?$

选项

[A]. $(\boldsymbol{k} \boldsymbol{A})^{*}$ $=$ $\boldsymbol{k}^{n}$ $\boldsymbol{A}^{*}$

[B]. $(\boldsymbol{k} \boldsymbol{A})^{*}$ $=$ $\boldsymbol{k}^{n-1}$ $\boldsymbol{A}$

[C]. $(\boldsymbol{k} \boldsymbol{A})^{*}$ $=$ $\boldsymbol{k}^{n-1}$ $\boldsymbol{A}^{*}$

[D]. $(\boldsymbol{k} \boldsymbol{A})^{*}$ $=$ $\boldsymbol{k}^{n+1}$ $\boldsymbol{A}^{*}$

答案

$(\boldsymbol{k} \boldsymbol{A})^{\textcolor{red}{*}}$ $=$ $\boldsymbol{k}^{\textcolor{orange}{n-1}}$ $\boldsymbol{A}^{\textcolor{orange}{*}}$

伴随矩阵的性质：$\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|$（C009）

问题

已知，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 是二阶或者大于二阶的方阵，则 $\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|$ $=$ $?$

选项

[A]. $\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|$ $=$ $|\boldsymbol{A}|$

[B]. $\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|$ $=$ $|\boldsymbol{A}|^{n+1}$

[C]. $\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|$ $=$ $|\boldsymbol{A}|^{n}$

[D]. $\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|$ $=$ $|\boldsymbol{A}|^{n-1}$

答案

$\left|\boldsymbol{A}^{\textcolor{orange}{*}}\right|$ $=$ $|\boldsymbol{A}|^{\textcolor{orange}{n-1}}$