已知 $f(x, y)$ $=$ $\left\{\begin{array}{cc}x y, & x y \neq 0, \\ 1, & x y=0,\end{array}\right.$ 则下列命题中哪个或哪些是正确的：
(1) $f(x, y)$ 在 $(0, 0)$ 点两个偏导数都存在
(2) $\lim f_{x}^{\prime}(x, 0)$ $=$ $f_{x}^{\prime}(0,0)$, 且 $\lim f_{y}^{\prime}(0, y)$ $=$ $f_{y}^{\prime}(0,0)$
(3) $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点两个偏导数都连续
(4) $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点可微
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继续阅读“这里有个不一般的三维分段函数”已知 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}x y \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$, 则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微吗？偏导数连续吗？
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继续阅读“可微（全微分存在）但不一定有偏导数连续”已知曲线 $y=y(x)$ 经过原点，且在原点的切线平行于直线 $2 x-y-5=0$. 同时，$y(x)$ 满足微分方程 $y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=\mathrm{e}^{3 x}$, 则曲线 $y(x)$ 的方程是多少？
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继续阅读“这道题其实是一个条件微分方程，而且隐含着两个条件”已知方程 $\boldsymbol{x}^{5}-\mathbf{5} \boldsymbol{x}+\boldsymbol{k}=\mathbf{0}$ 有三个不同的实根，则 $\boldsymbol{k}$ 的取值范围是多少？
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继续阅读“五次方程怎么算？别怕，考研真题不会超纲的”函数 $f(x)=\arctan x+\frac{1}{2} \arcsin \frac{2 x}{1+x^{2}}$ 在 $[1,+\infty)$ 区间内的增减性如何？
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继续阅读“高等数学易错点：复合函数求导公式很简单，但在实际运算过程中极易被忽略”已知 $y(x)$ 在 $[a, b]$ 上二阶可导，满足 $y(a)=y(b)=0$ 且 $y^{\prime \prime}(x)+c y(x)=0$ $(x \in(a$, $b) )$, 其中 $c$ 为小于零的常数，则 $y(x)$ 在 $(a, b)$ 内恒等于零吗？
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继续阅读“当一个函数既没有极大值也没有极小值还有等于零的值时就一定恒等于零”已知，常数 $A, B$ 可使不等式 $\frac{B}{\sqrt{x}} \leqslant \ln x \leqslant A \sqrt{x}$, $x \in(0,+\infty)$ 恒成立，则 $A$ 的最小值和 $B$ 的最大值分别是多少？
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继续阅读“应用 “化整为零”解题思想的一个例题”已知 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可导, 又 $f^{\prime}(x)+f^{2}(x)$ $-$ $\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ $=$ $0$ 且 $\int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t=0$, 则 $\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 在 $(a, b)$ 内是恒为负？还是恒为正？变号？还是恒为零？
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继续阅读“这道题算是算不出来的，只能“分类讨论”这样子”已知 $f(x)$, $g(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内可导, $g(x)>0$, $\left|\begin{array}{ll}
f(x) & g(x) \\
f^{\prime}(x) & g^{\prime}(x)
\end{array}\right|<0$, 且 $a<b$, $f(a)=0$.
请证明 $\frac{f(x)}{g(x)}$ 在区间 $(a, b]$ 恒正。
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继续阅读“这道线性代数和高等数学“合二为一”的题目你会做吗？”
我们知道，下面这两个不等式很常用也很重要（已知 $a \geqslant 0$, $b \geqslant 0$）：
$$
a^{2} + b^{2} \geqslant 2ab
$$
$$
a + b \geqslant 2 \sqrt{ab}
$$
那么，你知道这两个不等式背后隐藏的几何规律吗？你是怎么记住这两个不等式的？其实，只要搞明白这背后的几何原理，想记不住它们都难哦！
继续阅读“明白了这两张图你就记住了这两个重要的常用不等式”Tips:
本文中的理解方法由荒原之梦（zhaokaifeng.com）原创。
$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin \left(x \sin \frac{1}{x}\right)}{x \sin \frac{1}{x}} = ?
$$
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继续阅读“如果做对这道题你就真的理解了函数在一点处极限的定义了”假设曲线 $y=x^{3}-3 x$ 与直线 $y=A$ 有 3 个不同的交点，则以下结论成立的是哪个？
(A) $A<3$.
(B) $A>-3$.
(C) $-2<A<2$.
(D) $A \neq 0$.
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继续阅读“与三次函数有三个交点？还是选择题？画图秒解！”已知曲线 $y=\ln x$ 与曲线 $y=k \sqrt{x}$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处有公切线，则常数 $k$ 与切点分别为多少？
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继续阅读“这道题斜率和切点坐标都不知道！怎么计算？”下列函数中在 $x=0$ 处可导的是哪个或哪些？
(1) $f(x)=\cos x^{\frac{2}{3}}$;
(2) $f(x)=\sin x^{\frac{2}{3}}$;
(3) $f(x)=(1-\cos x)^{\frac{2}{3}}$;
(4) $f(x)=\left(\sin x^{2}\right)^{\frac{1}{3}}$.
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继续阅读“确定一点处是否可导？直接用一点处导数的定义试试看吧！”
