一、题目
已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}3 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & a \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right]$ 和对角矩阵相似，则 $a=?$
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继续阅读“关于可以相似对角化的矩阵没有计算思路怎么办？特征值特征向量先算一算”月度归档： 2023 年 7 月
使一个矩阵经相似对角化变成对角矩阵的矩阵 P 就是由该矩阵的特征向量组成的
一、题目
已知 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 1 & \\ & & -1\end{array}\right], \boldsymbol{P}=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right)$ 可逆，则矩阵 $\boldsymbol{A}$ 关于特征值 $\lambda=1$ 的特征向量是多少？
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继续阅读“使一个矩阵经相似对角化变成对角矩阵的矩阵 P 就是由该矩阵的特征向量组成的”实对称矩阵（包括对角矩阵）属于不同特征值的特征向量正交
一、题目
已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶实对称矩阵，特征值是 $1,3,-2$, 其中 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,2,-2)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=(4,-1, a)^{\mathrm{\top}}$ 分别是属于特征值 $\lambda=1$ 与 $\lambda=3$ 的特征向量，那么矩阵 $\boldsymbol{A}$ 属于特征值 $\lambda=-2$ 的 特征向量是（）
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继续阅读“实对称矩阵（包括对角矩阵）属于不同特征值的特征向量正交”实对称矩阵的性质汇总
如果深刻理解了关于特征值和特征向量的这个等式，这道题目就可以秒解
一、题目
已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵，且矩阵 $\boldsymbol{A}$ 各行元素之和均为 $5$, 则矩阵 $\boldsymbol{A}$ 必有特征向量（）
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继续阅读“如果深刻理解了关于特征值和特征向量的这个等式，这道题目就可以秒解”行列式能化简就化简：注意把能求出实数解的部分分离出来
一、题目
矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}-3 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & 4 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right]$ 的实特征值所对应的特征向量是（）
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继续阅读“行列式能化简就化简：注意把能求出实数解的部分分离出来”矩阵与其逆矩阵的特征向量相同，特征值互为倒数
一、题目
已知 $\boldsymbol{\alpha}=(a, 1,1)^{\mathrm{\top}}$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 2 \\ 2 & a & -2 \\ 2 & -2 & -1\end{array}\right]$ 的逆矩阵的特征向量，那么 $\boldsymbol{\alpha}$ 在矩 阵 $\boldsymbol{A}$ 中对应的特征值是多少？
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继续阅读“矩阵与其逆矩阵的特征向量相同，特征值互为倒数”相似矩阵加上同样数量的单位矩阵之后仍然相似
一、题目
已知 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$, 其中 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 2 & 3\end{array}\right]$, 则 $|\boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{E}|=?$
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继续阅读“相似矩阵加上同样数量的单位矩阵之后仍然相似”相似矩阵具有相同的秩
一、题目
已知 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1\end{array}\right]$, 则 $r(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})+r(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})=?$
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继续阅读“相似矩阵具有相同的秩”相似矩阵常用性质：主对角线和相等、对应的行列式值相等
一、题目
已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}3 & 0 & 0 \\ 0 & a & b \\ 0 & 2 & 3\end{array}\right]$ 和 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}3 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]$ 相似，则 $b=?$
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继续阅读“相似矩阵常用性质：主对角线和相等、对应的行列式值相等”行列式的值就是对应的矩阵的特征值的积
一、题目
已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵，特征值是 $1,2,-1$, 若 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}^{2}+2 \boldsymbol{A}+3 \boldsymbol{E}$, 则 $|\boldsymbol{B}|=?$
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继续阅读“行列式的值就是对应的矩阵的特征值的积”实对称矩阵（包括对角矩阵）非零特征值的个数就是该矩阵的秩：其他矩阵没有这个规律哦
一、题目
已知 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{\top}}$, 其中 $\boldsymbol{\alpha}=(1,0,2)^{\mathrm{\top}}$, 则矩阵 $2 \boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}$ 的特征值是多少？
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继续阅读“实对称矩阵（包括对角矩阵）非零特征值的个数就是该矩阵的秩：其他矩阵没有这个规律哦”特征值的定义忘了没？做完这道题马上想起来！
一、题目
矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}0 & -2 & -2 \\ 2 & 2 & -2 \\ -2 & -2 & 2\end{array}\right]$ 的非零特征值是（）
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继续阅读“特征值的定义忘了没？做完这道题马上想起来！”求解线性方程组进行矩阵化简运算时：每进行一次换行操作都要加一次负号
一、题目
已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,0,1)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(2,1,1)^{\mathrm{\top}}$ 是方程组 $\left\{\begin{array}{l}
-x_{1}+a x_{2}+2 x_{3}=1 \\
x_{1}-x_{2}+a x_{3}=2 \\
5 x_{1}+b x_{2}-4 x_{3}=a
\end{array}\right.$ 的两个解，则此方程组的通解为（）
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继续阅读“求解线性方程组进行矩阵化简运算时：每进行一次换行操作都要加一次负号”有无穷多解的非齐次线性方程组的增广矩阵一定不满秩
一、题目
已知方程组 $\left\{\begin{array}{c}
a x_{1}+x_{2}+x_{3}=a-3 \\
x_{1}+a x_{2}+x_{3}=-2 \\
x_{1}+x_{2}+a x_{3}=-2
\end{array}\right.$ 有无穷多解，则 $a=?$
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继续阅读“有无穷多解的非齐次线性方程组的增广矩阵一定不满秩”