分类： 考研数学

一、前言

下面这个恒等式是考研数学中和高等数学中一个很重要的恒等式：

$$\arctan x+\arctan \frac{1}{x}=\frac{\pi }{2}$$

在本文中，荒原之梦考研数学将给同学们证明上面这个式子。

继续阅读“关于 $\arctan$ 的一个恒等式及其证明”

一、题目

已知，函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续，在开区间 $(0,1)$ 内可导，且：

$$f(1)=k{\int }_0^{\frac{1}{k}}x{\mathrm{e}}^{1-x}f(x)\mathrm{d}x$$

其中常数 $k>1$.

请证明存在 $\xi \in (0,1)$, 使得下式成立：

$$f^{\prime }(\xi )=(1-\frac{1}{\xi })\cdot f(\xi )$$

难度评级：

继续阅读“计算含有“表述环路”的式子，首先需要“打破环路””

一、题目

已知，函数 $f(x)$ 二阶可导，且 $f^{\prime }(x)$ $=$ $f(n-x)$, $f(0)$ $=$ $1$, 则：

$$f(x)=?$$

难度评级：

继续阅读“导数等于原函数的“平移”：这样的函数一般都由三角函数构成”

一、题目

$$I={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\ln (\sin x)\mathrm{d}x=?$$

难度评级：

继续阅读“明修栈道，暗度陈仓：化简对数函数先凑乘法”

一、题目

请求解下面式子的极限：

$$\begin{array}{rl}{K}_1& =\underset{x\to a}{lim}\frac{a^x–x^a}{x-a}\\ \\ K_2& =\underset{x\to a}{lim}\frac{x^x–a^a}{x-a}\\ \\ K_3& =\underset{x\to a}{lim}\frac{\tan x–\tan a}{x^a–a^a}\end{array}$$

难度评级：

继续阅读“利用导数的定义求解式子的极限”

一、题目

已知 $y(x)$ $=$ $x^{x^x}$, 则：

$$y^{\prime }(x)=?$$

难度评级：

继续阅读“给对数函数的变量“摘指数”的时候要注意指数的“作用范围””

一、题目

已知 $y(x)$ $=$ ${\sin }^{3}x$ $+$ $\sin x\cos x$, 则：

$$y^{(n)}=?$$

难度评级：

继续阅读“求三角函数的 $n$ 阶导：先降幂”

一、前言

三角函数的二倍角公式（$\sin 2x$, $\cos 2x$, $\tan 2x$, $\cot 2x$）很常用，三角函数的三倍角公式在求解一些题目的时候，也是一个非常有用的工具。在本文中，「荒原之梦考研数学」将给同学们整理出一份常用的三角函数三倍角公式。

继续阅读“三角函数的三倍角公式”

一、题目

请证明下面这个数列 $\left\{x_n\right\}$ 的极限存在，并求解其极限：

$$\sqrt{2},\sqrt{2+\sqrt{2}},\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}},\cdots$$

难度评级：

继续阅读“平方运算不会改变大于或等于 $0$ 的数字间的大小关系”

一、题目

$$K_m={\int }_0^{\pi }x{\sin }^{m}x\mathrm{d}x=?$$

其中，$m$ 为自然数。

难度评级：

继续阅读“升级版的点火公式”

一、题目

$$I={\int }_2^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{x\sqrt{x-1}}\mathrm{d}x=?$$

难度评级：

继续阅读“对式子的等价转换除了有先加后减，还有先开方再平方”