我们知道，一般情况下，积分会导致函数的奇偶性发生改变。例如，在下面的式子中，一般情况下，如果函数 $f(x)$ 是奇函数，则 $F(x)$ 就是偶函数；如果函数 $f(x)$ 是偶函数，则 $F(x)$ 就是奇函数：
$$
F(x) = \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{~d} t
$$
但是，如果我们要分析的是下面这个式子，则函数 $f(x)$ 的奇偶性会对函数 $F(x)$ 的奇偶性产生什么样的影响呢？
$$
F(x) = \int_{0}^{x} g(x) \cdot f(t) \mathrm{~d} t
$$
在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过详细的计算，给同学们讲明白这个问题。
继续阅读“关于积分对函数奇偶性影响的一个扩展公式”
在本文中，「荒原之梦考研数学」将借助几何中“两点之间确定一条直线”的思想，帮助同学们理解什么时候可以使用特例法求解题目答案。
继续阅读““两点确定一条直线”的思想在特例法中的应用”
已知 $u$ $=$ $\frac{x+y}{2}$, $v$ $=$ $\frac{x-y}{2}$, $w$ $=$ $z \mathrm{e}^{y}$, 取 $u$, $v$ 为新自变量，$w$ $=$ $w(u, v)$ 为新函数，请将下面的方程变换为以 $u$ 和 $v$ 为自变量的表示形式：
$$
\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2 } z}{\partial x \partial y} + \frac{\partial z}{\partial x} = z
$$
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继续阅读“复合函数求偏导的两种理解方式”全概率公公式的定义如下：
若事件 $A_{1}$, $A_{2}$, $\cdots$, $A_{n}$ 两两互斥，且 $\sum_{i=1}^{n} A_{i}$ $=$ $\Omega$, $P(A_{i})$ $>$ $0$, 其中 $i$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$, $n$, 则对于任一事件 $B$, 有：
$$
P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_{i}) P(B|A_{i})
$$
在本文中，「荒原之梦考研数学」就用 图 示 的方式，让同学们能够直观地理解全概率公式。
继续阅读“图解全概率公式”下面这个恒等式是考研数学中和高等数学中一个很重要的恒等式：
$$
\arctan x + \arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}
$$
在本文中，荒原之梦考研数学将给同学们证明上面这个式子。
继续阅读“关于 $\arctan$ 的一个恒等式及其证明”已知，函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0, 1]$ 上连续，在开区间 $(0,1)$ 内可导，且：
$$
f(1)=k \int_0^{\frac{1}{k}} x \mathrm{e}^{1-x} f(x) \mathrm{~d} x
$$
其中常数 $k>1$.
请证明存在 $\xi \in(0,1)$, 使得下式成立：
$$
f^{\prime}(\xi)=\left(1-\frac{1}{\xi}\right) \cdot f(\xi)
$$
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继续阅读“计算含有“表述环路”的式子，首先需要“打破环路””已知，函数 $f(x)$ 二阶可导，且 $f ^{\prime} (x)$ $=$ $f(n-x)$, $f(0)$ $=$ $1$, 则：
$$
f(x) = ?
$$
难度评级：
继续阅读“导数等于原函数的“平移”：这样的函数一般都由三角函数构成”$$
I = \int_{0}^{ \frac{\pi}{2}} \ln ( \sin x ) \mathrm{~d} x = ?
$$
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继续阅读“明修栈道，暗度陈仓：化简对数函数先凑乘法”请求解下面式子的极限：
$$
\begin{aligned}
K_{1} & = \lim_{ x \rightarrow a } \frac{ a^{x} – x^{a}}{x-a} \\ \\
K_{2} & = \lim_{ x \rightarrow a } \frac{ x^{x} – a^{a} }{x-a} \\ \\
K_{3} & = \lim_{x \rightarrow a } \frac{\tan x – \tan a}{ x^{a} – a^{a} }
\end{aligned}
$$
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继续阅读“利用导数的定义求解式子的极限”已知 $y(x)$ $=$ $\sin^{3} x$ $+$ $\sin x \cos x$, 则：
$$
y^{(n)} = ?
$$
难度评级：
继续阅读“求三角函数的 $n$ 阶导：先降幂”三角函数的二倍角公式（$\sin 2x$, $\cos 2x$, $\tan 2x$, $\cot 2x$）很常用，三角函数的三倍角公式在求解一些题目的时候，也是一个非常有用的工具。在本文中，「荒原之梦考研数学」将给同学们整理出一份常用的三角函数三倍角公式。
继续阅读“三角函数的三倍角公式”请证明下面这个数列 $\left\{ x_{n} \right\}$ 的极限存在，并求解其极限：
$$
\sqrt{2}, \quad \sqrt{2+\sqrt{2}}, \quad \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}, \quad \cdots
$$
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继续阅读“平方运算不会改变大于或等于 $0$ 的数字间的大小关系”已知 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 都是 $n$ 阶矩阵，且：
$$
\boldsymbol{A B} = \boldsymbol{E}
$$
则：
$$
\boldsymbol{A} \left[ \boldsymbol{E} – \boldsymbol{A} \left( \boldsymbol{E} + \boldsymbol{A}^{\top} \boldsymbol{B}^{\top} \right)^{-1} \boldsymbol{B} \right] \boldsymbol{B} = ?
$$
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继续阅读“乘法运算中的矩阵一般不可以“自由流动”，但单位矩阵可以”是 $n$ 阶方阵，且满足：
$$
\boldsymbol{A}^{2} = \boldsymbol{A}
$$
请证明：
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\mathbf{r} (\boldsymbol{A}) + \mathbf{r} (\boldsymbol{A} – \boldsymbol{E}) = n
$$
难度评级：
继续阅读“乘以自己还和自己相等的矩阵就是在单位矩阵框架内秩互补的矩阵”