考研数学 – 第 169 页

用待定系数法求二阶非齐次微分方程特解时的设解方法

针对使用待定系数法确定二阶非齐次微分方程组的特解，本文将根据二阶非齐次微分方程右端项形式的不同，分三种情况依次说明。

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一、题目

设数列 $x_{n}$ 收敛，则 $?$

⟨A⟩. 当 $\lim_{n \rightarrow \infty} \sin x_{n}$ $=$ $0$ 时，$\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n}$ $=$ $0$.

⟨B⟩. 当 $\lim_{n \rightarrow \infty} (x_{n} + \sqrt{|x_{n}|})$ $=$ $0$ 时，$\lim_{n \rightarrow \infty}$ $=$ $0$.

⟨C⟩. 当 $\lim_{n \rightarrow \infty} (x_{n} + x_{n}^{2})$ $=$ $0$ 时，$\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n}$ $=$ $0$.

⟨D⟩. 当 $\lim_{n \rightarrow \infty} (x_{n} + \sin x_{n})$ $=$ $0$ 时，$\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n}$ $=$ $0$.

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一、题目

设二阶可导函数 $f(x)$ 满足 $f(1)$ $=$ $f(-1)$ $=$ $1$, $f(0)$ $=$ $-1$, 且 $f^{\prime \prime}(x)$ $>$ $0$, 则（）

⟨A⟩. $\int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{~d} x$ $>$ $0$

⟨C⟩. $\int_{-1}^{0} f(x) \mathrm{~d} x$ $>$ $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{~d} x$

⟨B⟩. $\int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{~d} x$ $<$ $0$

⟨D⟩. $\int_{-1}^{0} f(x) \mathrm{~d} x$ $<$ $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{~d} x$

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一、题目

若函数 $f(x)$ $=$ $\begin{cases} \frac{1- \cos \sqrt{x}}{ax}, x > 0,\\ b, x \leqslant 0 \end{cases}$ 在 $x=0$ 处连续，则（）

⟨A⟩. $ab = \frac{1}{2}$

⟨C⟩. $ab = 0$

⟨B⟩. $ab = – \frac{1}{2}$

⟨D⟩. $ab = 2$

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题目

设 $A$ 为三阶矩阵，$a_{1},a_{2},a_{3}$ 是线性无关的向量组。若 $A \alpha_{1} = 2 \alpha_{1} + \alpha_{2} + \alpha_{3}$, $A \alpha_{2} = \alpha_{2} + 2 \alpha_{3}$, $A \alpha_{3} = – \alpha_{2} + \alpha_{3}$, 则 $A$ 的实特征值为 $?$

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2018年考研数二第13题解析

题目

设函数 $z=z(x,y)$ 由方程 $\ln z + e^{z-1} = xy$ 确定，则 $\frac{\partial z}{\partial x} |_{(2,\frac{1}{2})}=?$

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2018年考研数二第12题解析

题目

$
\left\{\begin{matrix}
x=\cos ^{3} t,\\
y=\sin ^{3} t
\end{matrix}\right.
$ 在 $t=\frac{\pi}{4}$ 对应点处的曲率为 $?$

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2018年考研数二第11题解析

题目

$$\int_{5}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}-4x+3} = ?$$

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[线代]分块矩阵的运算

对分块矩阵进行运算时，把每个分块都看作矩阵中单个的元素处理即可。

解释：

如果把矩阵中的每个元素都看作一个分块，这样做是不会改变矩阵的运算法则的，因此，当分块中不止一个元素时，矩阵的运算法则也不会改变。

对由分块矩阵构成的大矩阵进行转置的时候，不仅要在分块的程度上进行转置，而且每个分块本身也要进行转置。

解释：

如果把一个矩阵的整体看成一个分块，即一个矩阵只有一个分块，这样做是不会改变矩阵的运算法则的，自然也不会改变矩阵的转置法则。当一个矩阵中只有一个分块时，根据上面的第一条性质，这个分块可以看作是一个单独的元素，一个单独的元素转置与否都没有形式上的改变（对于单个的元素而言，其位置由第一行第一列变成第一列第一行之后，元素位置实际上未发生改变），之后，为了遵循矩阵的转置法则，这个分块内部的元素必须也进行一次转置才可以。

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