已知 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 都是 $n$ 阶矩阵，且：
$$
\boldsymbol{A B} = \boldsymbol{E}
$$
则：
$$
\boldsymbol{A} \left[ \boldsymbol{E} – \boldsymbol{A} \left( \boldsymbol{E} + \boldsymbol{A}^{\top} \boldsymbol{B}^{\top} \right)^{-1} \boldsymbol{B} \right] \boldsymbol{B} = ?
$$
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继续阅读“乘法运算中的矩阵一般不可以“自由流动”，但单位矩阵可以”是 $n$ 阶方阵，且满足：
$$
\boldsymbol{A}^{2} = \boldsymbol{A}
$$
请证明：
$$
\mathbf{r} (\boldsymbol{A}) + \mathbf{r} (\boldsymbol{A} – \boldsymbol{E}) = n
$$
难度评级：
继续阅读“乘以自己还和自己相等的矩阵就是在单位矩阵框架内秩互补的矩阵”
在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们证明下面这个公式：
$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{AB} = \boldsymbol{O} \\
\Leftrightarrow & \ \mathbf{r} (\boldsymbol{A}) + \mathbf{r} (\boldsymbol{B}) \leqslant n
\end{aligned}
$$
其中，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 都是 $n \times n$ 阶方阵。
继续阅读“关于由 $\boldsymbol{AB}$ $=$ $\boldsymbol{O}$ 可得 $\mathbf{r} (\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathbf{r} (\boldsymbol{B})$ $\leqslant$ $n$ 的一个简单证明方式”在考研数学的线性代数科目中，我们有时候会遇到要使用下面这个公式的题目：
$$
\mathbf{r} (\boldsymbol{A}) + \mathbf{r} (\boldsymbol{E} – \boldsymbol{A}) \geqslant \mathbf{r} (\boldsymbol{E})
$$
事实上，往年的考研数学真题中也曾出现过要用该性质的题目。但是，同学们在使用这个性质的时候，可能会对上面这个不等式为什么成立产生疑问，在文本中，「荒原之梦考研数学」就给出一种简单的证明方式，帮助同学们解除疑惑。
继续阅读“关于 $\mathbf{r} (\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathbf{r} (\boldsymbol{E}$ $-$ $\boldsymbol{A})$ $\geqslant$ $\mathbf{r} (\boldsymbol{E})$ 的一个简单证明”
已知 $\boldsymbol{\eta}_{1}$, $\boldsymbol{\eta}_{2}$, $\boldsymbol{\eta}_{3}$ 均是 $\boldsymbol{A x}$ $=$ $b$ 的解，若 $k_{1} \boldsymbol{\eta}_{1}$ $+$ $k_{2} \boldsymbol{\eta}_{2}$ $+$ $k_{3} \boldsymbol{\eta}_{3}$ 也是 $\boldsymbol{A x}$ $=$ $b$ 的解，则 $k_{1}$, $k_{2}$, $k_{3}$ 应满足：
[A]. $k_{1}$ $+$ $k_{2}$ $+$ $k_{3}$ $=$ $1$
[B]. $k_{1}$ $+$ $k_{2}$ $+$ $k_{3}$ $=$ $3$
[C]. $k_{1}$ $\times$ $k_{2}$ $\times$ $k_{3}$ $=$ $1$
[D]. $k_{1}$ $=$ $1$ 且 $k_{2}$ $=$ $1$ 且 $k_{3}$ $=$ $1$
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继续阅读“非齐次线性方程组不同解向量的系数相加等于 1 时，相加所得的向量也是该方程的解”已知 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶方阵，$r(\boldsymbol{A})$ $=$ $n-1$, $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$ 是齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} x$ $=$ $0$ 的两个不同的解，$k$ 是任意常数，则以下哪个选项一定是 $\boldsymbol{A} x$ $=$ $0$ 的通解？
[A]. $k \boldsymbol{\alpha}_{1}$
[B]. $k \boldsymbol{\alpha}_{2}$
[C]. $k (\boldsymbol{\alpha}_{1}$ $+$ $\boldsymbol{\alpha}_{2} )$
[D]. $k (\boldsymbol{\alpha}_{1}$ $-$ $\boldsymbol{\alpha}_{2} )$
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继续阅读“不同的数字相减一定不得零，但相加就不一定了”已知：
$$
\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix}
0 & 1 & 1 \\
1 & 3 & 1 \\
1 & 1 & 0
\end{bmatrix}
$$
$$
\boldsymbol{B} = \begin{bmatrix}
3 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0
\end{bmatrix}
$$
求可逆矩阵 $\boldsymbol{C}$, 使得下式成立：
$$
\boldsymbol{C}^{\top} \boldsymbol{A} \boldsymbol{C} = \boldsymbol{B}
$$
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继续阅读“利用“对称初等变换”求解合同矩阵中的可逆矩阵 C”关于主对角线对称的矩阵，特别是单位矩阵具有很多的神奇的性质，在「荒原之梦考研数学」的《单位矩阵可以用来记录初等变换》一文中，我们学习了单位矩阵在“存储”和“写入”矩阵初等行变换和初等列变换上的能力。
在本文中，我们将学习单位矩阵和一般的对称矩阵在“对称初等变换”条件下自动生成其转置矩阵的特殊性质。
graph TD
O{O} --第 1 行与第 2 行的初等变换--> A1[A1];
O --第 1 列与第 2 列的初等变换--> B1[B1];
A1 --第 2 行与第 3 行的初等变换--> A2[A2];
B1 --第 2 列与第 3 列的初等变换--> B2[B2];
A2 --第 i 行与第 j 行的初等变换--> A[A];
B2 --第 i 列与第 j 列的初等变换--> B[B];
A --> C[A 和 B 互为转置矩阵];
B --> C;
继续阅读“对称矩阵/单位矩阵经“对称初等变换”可以生成互为转置矩阵的两个矩阵” 线性代数中的“单位矩阵（$\boldsymbol{E}$）”是一个非常特别的矩阵，这个矩阵非常简单，以至于可以用来记录初等变换的过程。
在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们讲解一下单位矩阵的这一作用。
继续阅读“单位矩阵可以用来记录初等变换”在线性代数中，我们会遇到关于单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 的如下写法：
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{E}_{12} \quad \boldsymbol{E}_{23} \quad \boldsymbol{E}_{31} \quad \cdots
\end{aligned}
$$
那么，上面这种写法表示什么意思呢？
在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们详细讲解一下。
继续阅读“线性代数中的 E12, E23 表示什么意思？”如果两个二次型之间可以通过坐标变换相互转化，那么这两个二次型的系数矩阵之间具有什么关系呢？
在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们详细讲解这一问题。
继续阅读“通过坐标变换联系起来的两个二次型的系数矩阵互为合同矩阵”已知，有 $3$ 阶矩阵：
$$
\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix}
b & a & a \\
a & b & a \\
a & a & b
\end{bmatrix}
$$
若 $r \left( \boldsymbol {A}^{*} \right)$ $=$ $1$，则下列选项正确的是哪一个：
[A]. $a \neq b$ 且 $b + 2 a$ $\neq$ $0$
[B]. $a \neq b$ 且 $b + 2 a$ $=$ $0$
[C]. $a = b$ 或 $b + 2 a$ $\neq$ $0$
[D]. $a = b$ 或 $b + 2 a$ $=$ $0$
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继续阅读“题目的答案就是题目的充分必要条件：答案既不能只是题目的充分条件，也不能是题目的必要条件”已知 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 满足：
$$
\begin{cases}
\boldsymbol{A} = \frac{1}{3} (\boldsymbol{B} + \boldsymbol{E}) \\ \\
\boldsymbol{A} ^{2} = \boldsymbol{A}
\end{cases}
$$
则：
$$
\boldsymbol{B} = ?
$$
难度评级：
继续阅读“借助二次方程求解未知矩阵”已知：
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{A} & = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 0 \\
2 & 2 & 0 & 1
\end{bmatrix} \\ \\
\boldsymbol{B} & = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
1 & 2 \\
1 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$
则：
$$
\boldsymbol{A B} = ?
$$
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继续阅读“利用好分块矩阵的性质，可以节省计算步骤”$$
\begin{aligned}
& |\boldsymbol{K}| = \\ \\
& \begin{vmatrix}
1 & -2 & 5 & 0 & 0 & 0 \\
3 & 8 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
5 & 0 & -3 & 2 & 1 & -1 \\
1 & 2 & 5 & 2 & 1 & -1 \\
7 & 3 & 5 & 9 & 2 & 0 \\
1 & 6 & 5 & -5 & 3 & 2 \\
\end{vmatrix} \\ \\
& = ?
\end{aligned}
$$
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继续阅读“行列式中的“消消乐””