线性代数归档 - 第4页共41页

一、前言

在本文中，荒原之梦考研数学网（zhaokaifeng.com）将考研数学中常用的矩阵都做了一个汇总，方便同学们对不同矩阵的性质做对比，从而更深刻的理解这些矩阵之间的区别、联系与性质。

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一、题目

已知 $α$ $=$ $[1, 3, 2]^{⊤}$ , $β$ $=$ $[1, - 1, 2]^{⊤}$ , 且矩阵 $A$ 与 $α β^{⊤}$ 相似，那么 $(2 A + E)^{*}$ 的特征值是多少？

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一、题目

已知 $n$ 阶方阵 $A$ , $B$ 和 $C$ 满足关系式 $A B C$ $=$ $E$ , 其中 $E$ 是 $n$ 阶单位矩阵，则以下结论正确的是哪个？

(A) $A C B$ $=$ $E$

(B) $C B A$ $=$ $E$

(D) $B A C$ $=$ $E$

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矩阵乘法中的矩阵不满足消去律和交换律，但矩阵对应的行列式满足消去律和交换律

一、题目

已知 $A$ 与 $B$ 为 $n$ 阶方阵，且 $A B = O$ , 则一定有：

(A) $A$ $=$ $O$ 或 $B$ $=$ $O$

(B) $| A |$ $=$ $0$ 或 $| B |$ $=$ $0$

(D) $| A |$ $+$ $| B |$ $=$ $0$

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页码： 12

一、题目

记行列式 $| \begin{array}{cccc} x - 2 & x - 1 & x - 2 & x - 3 \\ 2 x - 2 & 2 x - 1 & 2 x - 2 & 2 x - 3 \\ 3 x - 3 & 3 x - 2 & 4 x - 5 & 3 x - 5 \\ 4 x & 4 x - 3 & 5 x - 7 & 4 x - 3 \end{array} |$ 为 $f (x)$ , 则方程 $f (x)$ $=$ $0$ 的实根的个数是多少？

(A) 1

(B) 2

(D) 4

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高阶行列式的计算思路：降阶或者找规律

一、题目

$| \begin{array}{ccccc} a_{1} & 0 & 0 & b_{1} \\ 0 & a_{2} & b_{2} & 0 \\ 0 & b_{3} & a_{3} & 0 \\ b_{4} & 0 & 0 & a_{4} \end{array} | = ?$

(A) $a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}$ $-$ $b_{1} b_{2} b_{3} b_{4}$

(B) $a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}$ $+$ $b_{1} b_{2} b_{3} b_{4}$

(D) $(a_{1} a_{2} - b_{1} b_{2})$ $(a_{3} a_{4} - b_{3} b_{4})$

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矩阵的加减运算：只有同型矩阵才可以做加减运算，所得的也是同型矩阵

一、前言

通过本文中，我们将解决下面的问题：

什么样的矩阵可以做加减运算？
实际矩阵的加减运算怎么做？
抽象矩阵的加减运算有哪些定理？

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当特征值等于零的时候，求解特征值和特征向量的式子其实就是一个齐次线性方程组

一、题目

已知 $A$ 是 $3$ 阶实对称矩阵， $α$ $=$ $(- 1, 1, 1)^{⊤}$ 满足 $(A - 2 E) α$ $=$ $0$ , 且 $r (A)$ $=$ $1$ , 则方程组 $A x$ $=$ $0$ 的基础解系为：

A. $(1, 1, 1)^{⊤}, (1, - 1, 0)^{⊤}$

B. $(1, 1, 0)^{⊤}, (1, 0, 1)^{⊤}$

C. $(1, 1, - 1)^{⊤}, (- 1, 0, 1)^{⊤}$

D. $(1, 1, 0)^{⊤}, (- 1, 0, 1)^{⊤}$

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解题思路简图

解题思路简图锚点

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2024年考研数二第22题解析：线性方程组、正交变换

一、题目

设矩阵 $A$ $=$ $(\begin{matrix} 0 & 1 & a \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix})$ , $B$ $=$ $(\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ b & 2 \end{matrix})$ , 二次型 $f (x_{1}, x_{2}, x_{3})$ $=$ $x^{T} B A x$ . 已知方程组 $A x$ $=$ $0$ 的解均是 $B^{⊤} x$ $=$ $0$ 的解，但这两个方程组不同解.

(1) 求 $a$ , $b$ 的值;

(2) 求正交变换 $x$ $=$ $Q y$ 将 $f (x_{1}, x_{2}, x_{3})$ 化为标准形.

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页码： 123

2024年考研数二第16题解析：矩阵的化简

一、题目

设向量 $α_{1}$ $=$ $(\begin{matrix} a \\ 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix})$ , $α_{2}$ $=$ $(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ b \\ a \end{array})$ , $α_{3}$ $=$ $(\begin{matrix} 1 \\ a \\ - 1 \\ 1 \end{matrix})$ , 若 $α_{1}$ , $α_{2}$ , $α_{3}$ 线性相关, 且其中任意两个向量均线性无关, 则 $a b = ?$

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2024年考研数二第10题解析：相似对角化、矩阵的特征值与特征向量

一、题目

设 $A$ , $B$ 为 $2$ 阶矩阵, 且 $A B = B A$ , 则 “ $A$ 有两个不相等的特征值” 是 “ $B$ 可对角化” 的 ( )

(A) 充分必要条件

(B) 充分不必要条件

(D) 不充分不必要条件

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考研线性代数思维导图：10-逆矩阵 [XD-20250201]

版本号：
XD-20250201（2025 考研线性代数二第 01 版）

涉及的知识点

01. 逆矩阵的定义
02. 可逆与否的判断

03. 逆矩阵的性质
04. 求逆的方法

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考研线性代数思维导图：09-伴随矩阵 [XD-20250201]

版本号：
XD-20250201（2025 考研线性代数二第 01 版）

涉及的知识点

01. 伴随矩阵的定义

02. 伴随矩阵的性质

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平方为零的n阶方阵的秩为什么一定小于或等于n/2

一、前言

通过本文，我们将理解为什么对于 $n$ 阶矩阵 $A$ , 如果 $A^{2} = O$ , 则下式成立：

$r (A) ⩽ \frac{n}{2}$

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考研线性代数思维导图：08-矩阵的运算 [XD-20250201]

版本号：
XD-20250201（2025 考研线性代数二第 01 版）

涉及的知识点

01. 矩阵的加法运算
02. 矩阵的数乘运算
03. 矩阵的乘法运算

04. 矩阵的转置运算
05. 方阵的幂

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分类：线性代数

考研数学中那些“各种各样”的矩阵

一、前言

伴随矩阵的特征值与原矩阵的特征值之间有什么关系？

一、题目

单位矩阵很可能“引”出来互逆矩阵

一、题目

矩阵乘法中的矩阵不满足消去律和交换律，但矩阵对应的行列式满足消去律和交换律

一、题目

用行列式表示的方程该怎么求根？

一、题目

高阶行列式的计算思路：降阶或者找规律

一、题目

矩阵的加减运算：只有同型矩阵才可以做加减运算，所得的也是同型矩阵

一、前言

当特征值等于零的时候，求解特征值和特征向量的式子其实就是一个齐次线性方程组

一、题目

解题思路简图

2024年考研数二第22题解析：线性方程组、正交变换

一、题目

2024年考研数二第16题解析：矩阵的化简

一、题目

2024年考研数二第10题解析：相似对角化、矩阵的特征值与特征向量

一、题目

考研线性代数思维导图：10-逆矩阵 [XD-20250201]

涉及的知识点

考研线性代数思维导图：09-伴随矩阵 [XD-20250201]

涉及的知识点

平方为零的n阶方阵的秩为什么一定小于或等于n/2

一、前言

考研线性代数思维导图：08-矩阵的运算 [XD-20250201]

涉及的知识点

一、前言

一、题目

一、题目

一、题目

一、题目

一、题目

一、前言

一、题目

解 题 思 路 简 图

一、题目

一、题目

一、题目

涉及的知识点

涉及的知识点

一、前言

涉及的知识点

解题思路简图