一、前言 
你是否有这样的疑问：若一个 $n$ 阶矩阵的秩为 $k$, 那是否意味着该矩阵的任意 $k-1$ 阶子式都不为零？（其中，$k – 1 > 0$ 且 $k$ 为正整数。）
下面通过详细的分析以及一个易于理解的比喻就可以让我们搞明白这个问题。
继续阅读“若一个矩阵的秩为 3，是否意味着该矩阵的任意二阶子式都不为零？”分类： 线性代数
向量组线性相关的 3 个判断方法和向量组线性无关的 2 个判断方法
一、题目
下面的向量组中，线性无关的是哪个？
(A) $(1,2),(3,4),(5,6)$.
(B) $(1,2,3),(4,5,6),(3,6,9)$.
(C) $(1,2,3),(4,6,5),(7,9,8)$.
(D) $(1,2,3),(0,0,0),(4,7,5)$.
难度评级：
继续阅读“向量组线性相关的 3 个判断方法和向量组线性无关的 2 个判断方法”这道题用伴随矩阵的性质可以秒解
一、题目
已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵, 且 $|\boldsymbol{A}|=-2$, 则 $\left|\frac{1}{3} \boldsymbol{A}^{*} \right|=?$
难度评级：
继续阅读“这道题用伴随矩阵的性质可以秒解”四两拨千斤：把计算代数余子式之和转变为求解行列式的值
一、题目
已知，有行列式 $D=\left|\begin{array}{llll}1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ 4 & 0 & 0 & 4\end{array}\right|$, 则该行列式第一行元素的代数余子式之和是多少？
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继续阅读“四两拨千斤：把计算代数余子式之和转变为求解行列式的值”初等变换有可能改变行列式的值吗?
你会使用逆序计算这个行列式吗？
一、题目
$$
D=\left|\begin{array}{llll}0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 0 & 0\end{array}\right| = ?
$$
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继续阅读“你会使用逆序计算这个行列式吗？”利用逆序求 n 阶行列式的值
一、前言
我们都知道，$3$ 阶行列式是可以利用主副对角线计算出具体数值的，高于 $3$ 阶的 $n$ 阶行列式虽然不能这么计算，但是也有自己的计算公式——借助“逆序”这一工具，我们可以求解任意阶数的行列式的值。
继续阅读“利用逆序求 n 阶行列式的值”Tips
关于逆序数的计算方法， 可以参考《你知道怎么判断一组数字的逆序数吗？》这篇文章。
你知道怎么判断一组数字的逆序数吗？
这道“转置”题，你转晕了嘛？
一、题目
已知 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 是 $n$ 维列向量，则以下说法中正确的是哪个？
(i) $\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^{\top}=\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\alpha}^{\top}$
(ii) $\boldsymbol{\alpha}^{\top} \boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\beta}^{\top} \boldsymbol{\alpha}$
(iii) $\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^{\top}=\boldsymbol{\alpha}^{\top} \boldsymbol{\beta}$
(iiii) $\boldsymbol{\alpha}^{\top} \boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\alpha}^{\top}=\boldsymbol{\beta}^{\top} \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^{\top}$
难度评级：
继续阅读“这道“转置”题，你转晕了嘛？”向量个数大于向量维数的向量组一定线性相关：四个三维列向量一定线性相关
一、题目
下面的向量组中，线性相关的和线性无关的向量组分别是哪些？
(i) $(1,2,3)^{\mathrm{\top}}$, $(3,-1,5)^{\mathrm{\top}}$, $(0,4,-2)^{\mathrm{\top}}$, $(1,3,0)^{\mathrm{\top}}$
(ii) $(a, 1, b, 0,0)^{\mathrm{\top}}$, $(c, 0, d, 2,0)^{\mathrm{\top}}$, $(e, 0, f, 0,3)^{\mathrm{\top}}$
(iii) $(a, 1,2,3)^{\mathrm{\top}}$, $(b, 1,2,3)^{\mathrm{\top}}$, $(c, 3,4,5)^{\mathrm{\top}}$, $(d, 0,0,0)^{\mathrm{\top}}$
(iiii) $(1,0,3,1)^{\mathrm{\top}}$, $(-1,3,0,-2)^{\mathrm{\top}}$, $(2,1,7,2)^{\mathrm{\top}}$, $(4,2,14,5)^{\mathrm{\top}}$
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继续阅读“向量个数大于向量维数的向量组一定线性相关：四个三维列向量一定线性相关”当原矩阵满秩的时候，伴随矩阵也满秩
一、题目
已知 $\boldsymbol{A}$ 是 $5 \times 4$ 矩阵, 且 $\boldsymbol{A}$ 的列向量线性无关, $\boldsymbol{B}$ 是四阶矩阵, 满足 $2 \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}$. 则 $r\left(\boldsymbol{B}^{*}\right)=?$
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继续阅读“当原矩阵满秩的时候，伴随矩阵也满秩”这道题看似有多种解法，其实只能用行阶梯来做
一、题目
已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\\ 0 & 1 & -1 & a \\\ 2 & 3 & a & 4 \\\ 3 & 5 & 1 & 9\end{array}\right], \boldsymbol{A}^{*}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵, 若 $r\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)=1$, 则 $a=?$
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继续阅读“这道题看似有多种解法，其实只能用行阶梯来做”你能看出这个矩阵里面有一个不等于零的二阶子式吗？
一、题目
已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\ 3 & a & 2 \\ a & 4 & a\end{array}\right]$, 则 $a=-2$ 是 $r(\boldsymbol{A})=2$ 的充分必要条件吗？
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继续阅读“你能看出这个矩阵里面有一个不等于零的二阶子式吗？”又一道判断矩阵秩的题目，不过这次伴随矩阵来了，情况变得有点复杂……
一、题目
已知 $\boldsymbol{A}$, $\boldsymbol{B}$, $\boldsymbol{A^{*}}$ 均为三阶非零矩阵, 且满足 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$, 则 $r(\boldsymbol{B})=?$
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继续阅读“又一道判断矩阵秩的题目，不过这次伴随矩阵来了，情况变得有点复杂……”两个矩阵相乘等于零矩阵的时候，这两个矩阵的秩有什么关系？
一、题目
已知 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 都是四阶非零矩阵，且 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$, 那么：
若 $r(\boldsymbol{A})=1$, 则 $r(\boldsymbol{B})=?$;
若 $r(\boldsymbol{A})=2$, 则 $r(\boldsymbol{B})=?$;
若 $r(\boldsymbol{A})=3$, 则 $r(\boldsymbol{B})=?$;
若 $r(\boldsymbol{A})=4$, 则 $r(\boldsymbol{B})=?$.
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继续阅读“两个矩阵相乘等于零矩阵的时候，这两个矩阵的秩有什么关系？”